端末故障

他の回答者さんがmineoでの機種変更について回答されているので、白ロムについて書きます。

>中古スマホで同じ機種を購入しSIMカードを差し替えたらそのまま利用可能なのでしょうか？

同じ機種でも構いませんし、SH-01Fと同じSIMサイズの機種から探せば良いかと思います。
ただし、SIMサイズの違う機種を購入すると、SIMの再発行が必要となるので料金が発生します。
新しい機種に差し替えたあとはお使いのSH-01Fにされているかと思いますが、APN設定が必要です(docomoの設備からmineoの設備に接続する為の設定なので必ず必要です)。

>マイネオの中古スマホでエコたん？と言うところから購入したらいいのでしょうか？

良いと思います。
これは今後の参考ですが、もし白ロムを購入する際ですが当たり前ですが、信頼できる、赤ロム保証がある、IMEI番号(理由等は後程説明)やネットワーク利用制限が分かる業者を探せば良いと思います。

>機種はSIMカードが合えばどんなものでもいいのですが、中古スマホはバッテリーや赤ロム？が心配です。
バッテリーは本体と一体化になってるみたいなので、交換はいくらくらいでできるのしょうか。

バッテリーについては白ロムを選ぶ限り、前利用者がどう利用されているかが分からないので劣化具合に関してはどうしようもないかと思います。
心配であればバッテリー交換可能機種を購入して別途バッテリーを用意しておく、docomoショップにてバッテリー交換依頼をするなどでしょうか。
バッテリーの交換に関しては機種によりけりなので一概には回答出来ません。方法としては先程書いたdocomoショップにバッテリー交換依頼をする、非正規のショップに依頼する、自分でバッテリーのみを購入して交換するがありますが、バッテリー以外の部分が壊れるかもしれないことを考えるとdocomoショップ以外の方法はおすすめできません(正規の修理を受けられない可能性がある)。

赤ロムに関してはIMEI番号(端末固有の番号です)さえ分かれば、下記URL先にて調べられます。
http://nw-restriction.nttdocomo.co.jp/top.php
ここで×となる端末が所謂赤ロムで、それ以外は基本的に通常通り使える端末となります。
ただし、ここでは○となっていても、永久に○で有り続けるとは限りません(理由は長くなるので書きませんが、急に×になることがあります)。

色々と書きましたが、白ロムは前利用者がどの様な使い方をされているのか分からないので、その意味ではリスキーです。
それを分かった上で購入される事をおすすめします。

ご主人の端末は何でしょうか?
それによって答えが全然違ってくると思います。

mineoで端末追加（機種変更）すると、SIMカード変更にかかる手数料は無料です。

適切なSIMサイズに変更してもらえるので間違う心配もないし、簡単ですよ。

長く使うなら、やはり新品をお勧めします。HUAWEI nova liteなら、¥19,800（税抜）です。ぜひご検討ください！

おサイフケータイは使っていますか。もしおサイフケータイ機能が必要であれば、ドコモの中古か、あるいはmineo携帯でも国産の物に限られてきますので、やはりそれなりの価格はします。

もしおサイフケータイ機能が不要であれば、AQUOS PHONE ZETA（SH-01F）の機能を下回らないもので、なるべく安い新品を選べばよいと思います。
○SH-01Fの主な仕様
　バッテリー容量 3,000mAh
　ディスプレイ 約5.0インチ 約1,678万色 IGZO（1,080×1,920ドット フルHD）
　カメラ　外側カメラ約1,630万画素　内側カメラ約210万画素
　CPU MSM8974 2.2GHz（クアッドコア）
　メモリ RAM 2GB、ROM 32GB

特にCPU性能が大事で、キャリアのスマホはCPU性能が高い物が多いですから、遅いやつに変えると動作がもっさりして結構イラッときて、使っていて楽しくないです。写真をよく撮る人なら、カメラ性能も大事かもしれません。

他の方がHUAWEI nova liteを勧められていますが、
　CPU Huawei Kirin655 オクタコア（4×2.1GHz+4×1.7GHz）
　メモリ　ROM:16GB/RAM:3GB
　カメラ　メイン1,200万画素　サブ800万画素　
　ディスプレイ 約5.2インチ　1,920 × 1,080(フルHD) IPS液晶
　バッテリー容量 3,000mAh
値段の割には高性能で、決して悪い選択ではないと思います。

SH-01Fですと、恐らく、SIMサイズはマイクロ（ドコモの呼称はミニ）ですね。

ty3様の仰る、nova liteをmineoで購入されれば、ナノSIMが同梱されてきますので、SIMサイズ変更の手続きをする必要はなく、回線切替でいけますよ♪

もし、マイクロSIMでそのままでいきたい場合は、ZE520KL（ZenFone 3）ならばmineoで販売しています。

画面のタッチパネルのみの故障でしたら取り敢えず、外付けのUSBマウスをつなげば操作できます。
替える場合、国内キャリヤの販売してる物とそれ以外の端末で大きく異なるのは
「お財布携帯」、「ワンセグテレビ」、「エリヤメール」が使えるかどうかです。
その機能が不要であれば、新品でも半値くらいであります。
いずれにしても、設定やアプリのインストールはやり直す必要があります。

SHARP AQUOS PHONE ZETA（SH-01F）現在mineoのdocomo回線micro simというでご使用されています。

http://mineo.jp/sph/device/devicelist_docomo.html

のsim形状microと記載されているものは基本的にそのままsimの差し替えで使用可能です。

中古で購入されるのであれば、最低限IMEIを確認されネットワーク確認され○ないし△である事と元の持ち主に残債がない事を確認してください。

sim形状としては最近はnanoサイズが多いので新品購入時sim変更が必要になる可能性があります。ちなみに私の使用しているzenfone3だとそのまま使用できますが、もしmineoにて購入される場合分割も可能です。その際はsimをmicroからnano変更される事をお勧めします。理由としてはmineoから購入すると無料でsim変更してくれるので外部ストレージが可能になるのと別端末にsim共通で次に簡単に変更しやすくなります。

壊したのは残念でしたね。
中古についてだいたい赤ロムは、すぐにでも交換してくれるお店が大半だと思うのですが、バッテリーに関しては、実際に使わなければ難しいですね。ちなみに私の場合は、発売以来約5年経過した「KYOCERA au DIGNO M」を1年半ほど前に息子が中古（11000円）で購入したものを、今度は私が譲り受けて使用していますが、今のところ全然問題無しです。amazonだと、もし不良品に当たった場合、返品はその日中でも着払いで対応してくれるので安心だと思いますよ。我が家でも今まで新品しか購入せず、試しに中古を購入したところ、これはいけるということで、今現在中古スマホの購入3台目ですが全く問題無しです。ただ一度だけ使い物にならない商品が届いたので即返品して別の物を購入しました。

＞交換はいくらくらいでできるのしょうか。
　だいたい安い中古品が買えるくらいでしょ？
　自分で交換するという選択肢も有りますが慣れてなければやばいです。

＞SIMカードの種類が違うみたいです
　サイズの違いでしたら、アダプターが100円程度であるのですが、不安ならmineoへの変更手続きを。

尚、私の「思いっきり古いスマホ」は、未だにキズも無く綺麗な状態で毎日一生懸命働いてくれています。・・そのうちプレミアがつくかも（笑）

直接の回答ではないですが、もし画面表示が生きているならPC用のUSBマウスをスマホにつなげば、スマホの操作(バックアップ作業)できますよ。
ただし、下記リンクのような変換アダプタが必要になります。
https://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/B005SZQCWM/ref=pd_aw_lpo_147_lp_img_3?ie=UTF8&psc=1&refRID=TR6DWNXEDJ7H27CPDS37