端末故障

他の回答者さんがmineoでの機種変更について回答されているので、白ロムについて書きます。

>中古スマホで同じ機種を購入しSIMカードを差し替えたらそのまま利用可能なのでしょうか？

同じ機種でも構いませんし、SH-01Fと同じSIMサイズの機種から探せば良いかと思います。
ただし、SIMサイズの違う機種を購入すると、SIMの再発行が必要となるので料金が発生します。
新しい機種に差し替えたあとはお使いのSH-01Fにされているかと思いますが、APN設定が必要です(docomoの設備からmineoの設備に接続する為の設定なので必ず必要です)。

>マイネオの中古スマホでエコたん？と言うところから購入したらいいのでしょうか？

良いと思います。
これは今後の参考ですが、もし白ロムを購入する際ですが当たり前ですが、信頼できる、赤ロム保証がある、IMEI番号(理由等は後程説明)やネットワーク利用制限が分かる業者を探せば良いと思います。

>機種はSIMカードが合えばどんなものでもいいのですが、中古スマホはバッテリーや赤ロム？が心配です。
バッテリーは本体と一体化になってるみたいなので、交換はいくらくらいでできるのしょうか。

バッテリーについては白ロムを選ぶ限り、前利用者がどう利用されているかが分からないので劣化具合に関してはどうしようもないかと思います。
心配であればバッテリー交換可能機種を購入して別途バッテリーを用意しておく、docomoショップにてバッテリー交換依頼をするなどでしょうか。
バッテリーの交換に関しては機種によりけりなので一概には回答出来ません。方法としては先程書いたdocomoショップにバッテリー交換依頼をする、非正規のショップに依頼する、自分でバッテリーのみを購入して交換するがありますが、バッテリー以外の部分が壊れるかもしれないことを考えるとdocomoショップ以外の方法はおすすめできません(正規の修理を受けられない可能性がある)。

赤ロムに関してはIMEI番号(端末固有の番号です)さえ分かれば、下記URL先にて調べられます。
http://nw-restriction.nttdocomo.co.jp/top.php
ここで×となる端末が所謂赤ロムで、それ以外は基本的に通常通り使える端末となります。
ただし、ここでは○となっていても、永久に○で有り続けるとは限りません(理由は長くなるので書きませんが、急に×になることがあります)。

色々と書きましたが、白ロムは前利用者がどの様な使い方をされているのか分からないので、その意味ではリスキーです。
それを分かった上で購入される事をおすすめします。