mineoで音声通話付きプランを契約中、さらにほかの通信会社とデータプランの契約は可能ですか？

ながら、MVNOの場合はキャリアメールは使えません。
MVNOのメールアドレスは、PCメール扱いなのでキャリアメールが必要な場合はキャリアと契約するしかありません。
他社のデータ通信の契約は可能ですが、頻繁にSIMカードを出し入れするのはあまりお勧めできません。
SIMの端子が痛んだり接触不良になる可能性があります。

MNP転出料を気にされているようですが、2回線契約の方がトータルで高くつくような気がします。
いずれも、規定期間使用した場合、幾らになるか、よく計算された方がいいと思います。

もし、私が同じ状況であれば以下の方式をとると思います。
・mineoからMNP転出料を支払いMNP転出する。
・キャッシュバックの多いキャリアにMNP転入する。
・キャリアから提供された新端末に挿してあるSIMをSIMフリー端末に差し替えて使う。
・新端末はアクティベートのみの未使用品として下取り業者に売る。(AppleCare+などは意味がないので最短で止める)


実際のところ、実現可否についてはできるはずですが、問題もあります。

iPhoneは任意のタイミングでSIMを差し替えたりできる端末ですが、iMessageなどのSMS認証を行う類の基本機能が、頻繁なSIM切り替えには対応してないので、同一端末で切り替えて使うは、選択肢として消えると思います。

では、タブレットなどと契約して、SIMを交換したら良いかというと、音声通話できなくなりますので、これも選択肢からないと考えるべきです。

タブレットを契約してその際に提供されるメールアドレスを、mineo契約のSIMを挿した端末から送受信することはできると思いますが、キャリアの回線からでないと使えないサービスもあり、なにかと損だと思います。

よく考えた方がいいです。
特にキャリアメールがなぜ必要なのかなど考えて、快適に使うにはMNPしかないと思います。

データプランのみで？キャリアメールが使える？
いまいち腑に落ちませんが。

仮にキャリアメールを使いたいと云う事が目的ならば、
適当な安ガラケーをキャリアと契約して、その物は(SIM含)使わずに仕舞って置き、
メールアドレスだけをSEに設定して利用するという方法はありかも

キャリアメールをPCメール拒否設定をしている端末にも送れるメールと言う意味で使われているのであればMVNOだとUQmobileしかないですね。

メールの為だけに別回線を契約するのももったいないのでmineoを解約してMNPで移動、転出料金12420円がもったいないのら１年待つか電話番号を捨てて、新規契約が良いかと思います。(1年経ってもMNP転出料金2160円は、必要です)

他の方も書かれておられますが一つの端末でsimを頻繁に差し替えて使うのは、故障の原因となります。

mineoの音声通話付きプランをそのままに、キャリアメールだけ欲しいのでしたらドコモのFOMAプランをうまく利用すれば出来ないこともないです。

ざっくり説明するとキャリアメールを契約するには少なくとも携帯電話会社の基本プランに入る必要があります。ドコモの場合、基本プランで手軽なものはFOMAの『タイプ○○バリュー』コースです。これで新規契約すると通常はiモードのキャリアメールが１つ使えるようになります。しかし、これは使わずにオプション契約で『spモード(iモード契約可)』に加入するとメールアドレスがもう一つもらえるのでそれを使います。ドメイン名はどちらもdocomo.ne.jpです。『spモード(iモード契約可)』は本来ドコモのスマホで使う為のものなのですがドコモメールとしてクラウド化するとマルチデバイス対応になってパソコンやタブレットやSIMフリースマホからでも利用できるようになります。iPhoneでも大丈夫です。料金もISPセット割が適用されるのでFOMAの基本料金と実質同じ料金です。ただ、手の込んだやり方なので大変かもしれません。参考までにどうぞ。

■手順

1.ドコモのFOMAを新規契約する。
2.spモード(iモード契約可)契約する。
3.dアカウントを取得する。
4.ドコモメール対応機種を入手する。
5.ドコモメールのdアカウント利用設定を有効にする。
6.普段使うスマホでメール設定(IMAPの設定)する。

■料金概算

1か月目
743円 タイプシンプルバリュー(ひとりでも割50適用)
0～4200円 パケホーダイシンプル
300円 iモード
300円 spモード(iモード契約可)
-300円 ISPセット割(iモード+spモード)
3000円 新規登録料
-------------------------
合計 4043円～

2か月目以降
743円 タイプシンプルバリュー(ひとりでも割50適用)
0～4200円 パケホーダイシンプル
300円 iモード
300円 spモード(iモード契約可)
-300円 ISPセット割(iモード+spモード)
-864円 月々サポート(新規契約)
-------------------------
合計 179円

補足説明
『月々サポート(新規契約)』は機種と時期によって金額が変わりますがFOMA契約の出来る機種P-01G/N-01G/P-01Hで2016/6/14現在を前提して計算しています。月々サポートの適用は翌月からです。
『spモード(iモード契約可)』とは1つのFOMAカードでiモードとspモードのメールアドレスを一緒に利用できるようにするものです。要するにdocomo.ne.jpドメインのメールアドレスを２つ取得したことになります。実際２つあります。
spモードメールをドコモメールへクラウド化するにあたってドコモメール対応のスマホが必要になります。一時的に友達からドコモのスマホを借りたり、中古で購入するなど何とかして入手する必要があります。設定時はパケットも消費するので出来るだけちゃっちゃっと操作する必要もあります。
設定時のパケット料金は見積もりに入っていません。消費税、ユニバーサル料金は考慮していません。本体料金も考慮していません。

■用語解説

月々サポートとは
購入の機種に応じた月々サポート適用金額を毎月のご利用料金(基本料金、iモード、パケット料金)から割引くもの。ご購入日の翌月を1か月目とし最大24か月間割引く。

ひとりでも割50とは
2年間同一回線の継続利用をお約束いただくことを条件に基本使用料が50%割引になるサービス。契約期間中に割引サービスを廃止すると9500円の違約金がかかる。

ドコモメールとは（少し独自解釈あり）
契約上はspモードの一種。仕組み上はspモードがスマホ本体にメールデータを格納するのに対して、ドコモメールはメールサーバー上に格納する。いわゆるspモードのクラウド拡張版。サーバー上に格納する性質上、IMAPプロトコル等を利用したマルチデバイス化が可能となっている。

どうしてもというなら、私なら新たにキャリアのガラケーを購入します。
スッキリ安全に２台持ちでいかかでしょうか？

自分なら二台持ちにします。

現契約のmineoがDデュアルであれば、auのGRATINA2かGRATINA4GをMNP一括0円キャシュバック付きを探して契約します。
mineo側へ支払う一年以内のMNP違約金?は、キャッシュバックで賄えそうな気がします。

iphoneSEに挿すシムは、mineoシングルを新規に契約します。
初期費用や毎月の費用はご自身で確認してください。

au Webメールサービス　KDDIなら使えます。通常のキャリアメールは利用不可です。

iPhone SE SIMフリー でUQ mobileメールは使えませんよ。
UQ mobileメールは一部のアンドロイドだけです。
また、ハングアウトからのメールになるため使いにくいです。

http://www.uqwimax.jp/products/mobile/sim/devices/