クレジットカードを持っていない場合

父が持っているので、父の名義で契約する⇒2回線分父親名義で契約OKです

まず、確認ですが、移転元の契約名義は両方ともバリトン7様のお父様でしょうか？　それとも別々でしょうか？　はたまた、両方ともバリトン7様のお母様でしょうか？

基本的には、のりかえの場合は
移転元名義＝移転先（mineo）名義＝クレジットカード名義
の３点イコールが大原則となります。
...ですので、別々の名義または両方ともお母様名義ならば、移転元で名義変更をして、両方ともお父様名義にする必要があります。家族割引維持ならば手数料はかかりませんが、そうでない場合は、3,240円の手数料がかかります。
これで両方ともお父様名義になりましたら、MNP予約番号を取得して、バリトン7様の紹介用URLを踏んで、家族割引を組んで5/8までにmineoを申込みすれば（3ヶ月契約維持）、めでたく紹介キャンペーンが適用されます。

もし、番号が変わってもいい、という場合は、この限りではありませんが、最低限バリトン7様の紹介用URLは踏んで申込みましょう。

D社からのMNP前提でコメントします。
ご両親様の2回線をMNPですね。
現DOCOMOでの契約名義はお父様ですか？　それとも別々ですか？
mineoの場合は、クレジットカードは必須で考えると

　MNP元の契約者名義＝mineo契約者名義＝クレジット契約者名義

が必須になります。
現契約が別々でしたら、先にDOCOMOでお父様名義に変更なさってください。

申込については
　①バリトン7 さんの紹介で先にお父様を契約する
　②お父様回線の開通する
　③バリトン7 さんの紹介でお母様分の契約する
の流れになります。　一度の手続きで複数回線申込みはできません。
別々になさってください。

後は、ムック本などを購入されて、エントリーコードを入手ください。
エントリーコードを使うこと初期手数料が無料になります。
（手数料は３０００円なんで、２０００円程度お安くなります）


　　

契約名義とクレジットカード名義が同一である必要がありますので、今回の場合は全回線をお父様の名義にしてからmineoにMNP転出する必要があります。
docomo,au,Softbank共にご家族間の名義変更は無料なので、先に名義をお父様に変えてから、MNP予約番号を発行してください。
ただ、SoftBankだけは、名義変更を行うだけでホワイトプランの2年縛りがリセットされて名義変更後の2年未満の解約に解約料がかかるようなので十分ご注意ください。

あとは、先にお父様だけmineoに転出し、開通後に同一eoIDでお母様名義で申し込み、その際の支払い方法をこれまでと同じを選択する事でお父様のクレジットカードでの一括支払いで申し込めます。
この場合だと、お父様を紹介者として、お父様の紹介URLからお母様名義で申し込んで家族割引を組めば、紹介キャンペーンで双方に2千円分のAmazonギフトコードがもらえます。