クレジットカードを持っていない場合

契約名義とクレジットカード名義が同一である必要がありますので、今回の場合は全回線をお父様の名義にしてからmineoにMNP転出する必要があります。
docomo,au,Softbank共にご家族間の名義変更は無料なので、先に名義をお父様に変えてから、MNP予約番号を発行してください。
ただ、SoftBankだけは、名義変更を行うだけでホワイトプランの2年縛りがリセットされて名義変更後の2年未満の解約に解約料がかかるようなので十分ご注意ください。

あとは、先にお父様だけmineoに転出し、開通後に同一eoIDでお母様名義で申し込み、その際の支払い方法をこれまでと同じを選択する事でお父様のクレジットカードでの一括支払いで申し込めます。
この場合だと、お父様を紹介者として、お父様の紹介URLからお母様名義で申し込んで家族割引を組めば、紹介キャンペーンで双方に2千円分のAmazonギフトコードがもらえます。