削除メールが再受信される。根本的な対処法は？

メールの受信方式がIMAPだと、サーバーにメールがずっと残るそうです。普通は一度読むと既読となり、再度受信はしないはずなのですが、そこら辺に異常が生じているのだと思います。

根本的に解決しようとするなら、POP方式で受信にすればよいと思います。そうすれば一度読んだメールはスマホ側に保存され、サーバーからは削除されることになります。ただし、お使いのスマホのほかに、別のスマホ、タブレット、PCでも同じメールを受信しているのであれば、この方法は使えませんが。
「メール受信方式は、POPとIMAP、どっちが便利？ 」
http://manablog.dosuzuki.com/diary/post-1963/

mineoの初期設定によくあるご質問
「POP3で設定できますか？」
http://support.mineo.jp/usqa/set/initset/mail/4208847_8870.html

パソコンをお持ちなら、Thunderbirdなどの無料メールクライアントを使いmineoメールを受信する設定をし、不要なメール（困っている再受信するメール）をサーバから削除する（どうもスマホのメールクライアント側で削除したはずのメールがmineoメールサーバに反映されていなさそうだから）

パソコンを持っていないなら　スマホで
mineoメールの受信をpop3受信にして、サーバメール削除の設定（サーバに残さない）にしたらどうでしょうか

SSLあり
POPサーバー pops.mineo.jp
ポート 995

SSLなし
POPサーバー pop.mineo.jp
ポート 110

ID/PWはmineoメール設定と同じです

imap受信の設定からpop3受信の設定をすると、過去のメールがサーバに残っている場合、残っているメール全部受信（スマホに格納・移動）となることが理解されていて、困らないのであれば（サーバに一切残りませんので、他の機器でメール閲覧できません）やってみたらいかがでしょうか

imap受信の場合、再受信ということではなく、クライアント側の削除動作がメールサーバに伝わっていないと理解したほうがいいと思います

この不具合、こちらの質問でもよく見かけます。
その多くは、DIGNO Mの「PCメール」アプリでお使いになっているかたで、どうもこの機種・アプリ固有の問題のようですね。

すでにお二方が回答なさっているように、POP3受信で支障がなければ、設定を変更なさると解決できると思います。

しかし、他の端末でもメールを受信したい、サーバーにメールを残しておきたいといった理由で引きつづきIMAPでの受信を希望される場合は、メールアプリを変更なさってみてはどうでしょうか。
確信があるわけではないのですが、おそらく「PCメール」アプリに原因がある不具合ですから、メールアプリさえ変更すれば、解決できるように思います。

変更するメールアプリについては好みもあると思いますが、人気のアプリをふたつほど紹介しておきます。

【CosmoSia】
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.access_company.android.nfcommunicator&hl=ja

【K-9 Mail】
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.fsck.k9&hl=ja