ちょっと質問。

>>2
回答ありがとうございます。
とりあえずブラウザを閉じたとき自動でログアウトするかいろいろ試したんですが、まだ出来てません。
とりあえずご返答をと思って返事しました。もう少し試して見ます。

>>4 Tikitikiさん

チップをありがとうございます。

ごめんなさい。
利用しているブラウザや設定によって動作が違うか、
自分が上に書いた、ログイン情報がcookieに保持される
という認識自体が間違っている可能性があるので、
もう少し調べてみます。すみません。

ということで、No.2はチップをいただくような内容ではないので、
お気持ちだけありがたくいただき、チップ分はお返しいたします。
ありがとうございました。

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PC上のFirefoxでは、終了時cookieだけを削除する設定
（Browsing & Download History、 Active Logins、
Cache、Site Preference、Offline Websiteはデータ保持）
では、ブラウザの右上角の×ボタンで終了させた場合でも
ログイン情報は消えたようで、再度ブラウザを立ち上げても
ログイン状態は保持されていませんでした。

PC上のIE11の終了時に削除する内容を「cookieとWebサイトデータ」
だけを削除し、残りの項目をすべて残す設定にした場合、
ブラウザの右上過度の×ボタンでIEを終了させ再度立ち上げると
ログイン状態が保持された状態で立ち上がりました。

（投稿後、上のしばらく前にIEの「cookieとWebサイトデータ」
のみの有効無効でIE終了後再度ページを開いてログイン状況の変化
を調べた時は、メニューのファイルから終了をクリックして
閉じると再起動後保持が切れていたり、×ボタンで閉じると
一度目再立ち上げ時は保持されていたログイン状態が、
2度目に閉じ再度立ち上げページにアクセスると保持が切れて
いたりとちょっとつかめない状況でした。）

その次に、IE終了時、追加で「パスワード」も削除する設定にして
×ボタンで終了後、再度IEを立ち上げると1度目はログイン状態が
保持された状態で立ち上がりましたが、再度IEを閉じ立ち上げると
今度はログアウトした状態でページが開きました。

ちょっとIEの動作（削除のタイミング？かもしれませんが）が
不安定なのと、マイネ王ログイン時に、しばらくたってから再度
ログインを試してくださいみたいな案内が出るようになったので、
もしかしたら再度のレスが遅れるかもしれませんが、android上の
ブラウザも新たに加えもうちょっと調べてみます。すみません。

>>5
申し訳ございません。そこまでして頂かなくても結構ですよ。
基本、チェック外してログイン、落ちるときはログアウトしてますから。
一応、知りたいボタンを押してくださった方がいるので現状報告。
チェック外してログイン後、ブラウザ（chrome)閉じても、再起動しても、一度電源切ってもログイン状態でした。
チェックボタン？があるのにブラウザに依存すると言うのも何か変な話ですね。
（そこまで詳しくないのでそんなもんだよかも。）

お言葉に甘えて簡単に済ませました。

Windows 8.1 32bit上のFirefox

■Remember logins for sites（サイトのログイン情報の保持：有効）
　＋終了時cookieのみの削除

　▲ログイン後ｘボタンでFirefoxを終了し再度サイトにアクセス
　　　　→　ログイン状態は保持されず
　　　　●ただし、Remember logins for sitesの設定有効により
　　　　IDとパスワードのデータは記録されているため
　　　　マイネ王のログインボタンをクリックすると
　　　　メールアドレス欄とパスワードが入力された状態で
　　　　ログイン画面が現れ、ログインをクリックするだけでログインできる。
　　　　「ログインを維持」にチェックが入った状態での2回目以降も同じ。

■Remember logins for sites（サイトのログイン情報の保持：無効）　　
　＋終了時cookieのみの削除

　▲ログイン後ｘボタンでFirefoxを終了し再度サイトにアクセス
　　　　→　ログイン状態は保持されず

----------------------------------------------------
Android 5.1.1上のChrome

■フォームへの自動入力（オフ）＋パスワードの保存（オフ）
　＋Cookie（許可：ただしサードパーティのCookieは無効）

　○ログイン後Androidの戻るボタンの連打でChromeを終了し
　　Androidの履歴からも削除。再度Chromeを立ち上げ
　　ブックマークからサイトにアクセス

　　　　→　ログイン状態が保持されたままページが開かれる

　　上の状態からChromeの設定の「プライバシー」に入り
　　「閲覧履歴データを消去する」を選択。
　　「データを消去する期間」は「はじめから」で、
　　「Cookieとサイトデータ」だけにチェックを入れた状態で
　　「データを消去」をタップ。
　　Androidの履歴ボタンから履歴を消去しChromeを消す。
　　再度Chromeを立ち上げマイネ王が開く。

　　　　→自分が登録した画像（たぬき）は
　　　　　マイページのところに現れるが
　　　　　そこをタップしてマイページに入ると
　　　　　今月の利用情報のデータ部分の表示はなく
　　　　　ページ右上に「ログイン」ボタンが現れている。
　　　　→▲ページ右上のログインをタップすると
　　　　　メールアドレスとパスワードが空欄の
　　　　　ログイン情報入力画面が出てくる。
　　　　（ログイン情報は消えている模様）

　　　数回繰り返しましたが、
　　　自分のところでは同じ動作を繰り返しました。

長々とすみません。何かの参考まで。

>　　　　→自分が登録した画像（たぬき）は
>　　　　　マイページのところに現れるが
>　　　　　そこをタップしてマイページに入ると
>　　　　　今月の利用情報のデータ部分の表示はなく
>　　　　　ページ右上に「ログイン」ボタンが現れている。

cookieを削除してアプリを終了後
後再度Chromeを立ち上げマイネ王を開いたときに
マイページのボタン部分に現れる登録画像は
ブラウザのキャッシュです。

履歴データを消去するときに「Cookieとサイトデータ」のほかに
「キャッシュされた画像とファイル」を消去対象に加えてやれば、
消えるものと思われます。

また、履歴の消去はメニューの「履歴」からも行けます。
「履歴」→「閲覧データの消去」から消去する履歴を選択し
データを消去することができます。