ちょっと質問。

>ログインを維持するっていうチェックボタン

ここにチェックを入れてログインすると、
ブラウザのcookieにログイン情報が保持されて
再度ブラウザを立ち上げてマイネ王に接続すると
ログインが済んだ状態でページが開かれるということです。

ただし、マイページから「ログアウトする」を
クリック/タップしてログアウトすると、
再度のログインが必要になります。

また、ブラウザの設定で、
ブラウザ終了時にcookieを自動的に削除する設定
にしている場合にも、再度のログインが必要になります。