中２の数学（図形）の宿題がわからない
中２の数学の宿題の解き方がわからないから教えて、と子供に言われたのですが、ムムム私にもわかりません。超難問じゃないですか～？
チャレンジ問題とかで、解かなくて良いページだそうですが、悔しいので解き方を教えて下さい！
（プリント用紙を写真撮影したので、折れ目の線が歪んでいますがご容赦を）
ちょうど学校では、対頂角、同位角、錯角 などを習ったばかりのようです。
→中学受験問題で小学生の知識で解ける問題でした。でも解き方を思いつかない！
……………
画像でググったらすぐにいっぱい答えが出てきました。コメント欄に答えを書いていますので、自分で解きたい人はコメントを見ないでね。
95 件のコメント
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>> Dark Side of the Moon さん
> 図面化するとこんな感じでしょうかね？言葉で説明できてると思うので、
無理に図面化しなくても… w
>> さと さん
丁寧に説明するとその通りです。面倒を嫌う私の代わりにありがとうございます。アニメーション化すると更に分かり易いと思います。最近流行りの生成系AIに頼むとちゃちゃっと作ってくれるかも。私はやらないですけど…。
三角形の内角の和が180度というのも、辺を回転させるこの方式で説明できますね。
水平な線BCを基準として、全ての角度分を回転させると、フラグが180度回転する結果となります。
>> さと さん
そのフラグを使う場合は、正三角形でないと（各辺の長さが同じでないと）、フラグの位置がズレてきますね。さらに言えば、話はまたそれてしまうが、
360°は1回転？1周？というべきか。
それでも角度なのだろうか？
イメージ的に、ちょっとでも角張ってたり、曲がっていれば角度っぽいけど、
180°はすでに角（カド）がなく直線だし、360°は1周して、もはや0ではなかろうか。
さらにさらに言えば、361°はもはや1°ではないだろうか？
>> Dark Side of the Moon さん
そうなんです。ズレるんです。フラグの位置はあくまで、角度を示すものと考えています。
回転の軸は必ず星の頂点で回転させます。
(フラグを軸に回転させることはしません)
フラグが頂点より外側に飛び出していても、線の途中にある頂点を軸に回転させます。
フラグが頂点まで届かなくて、フラグより先に頂点があっても、フラグより遠い頂点を軸に空中回転させるイメージです。
でないと一筆書きのジャバラ状を利用して折りたたんで行く事ができないので。
アニメーションでもできれば、表現できるのですが、あくまで考え方としてざっくり書きました。
>> さと さん
どうも私にはフラグのイメージが掴めません。「フラグがb度移動する」のではなく、「辺（直線）がb度回転する」もしくは「回転軸がAからBへ移動する」のではないでしょうか？
三角形で説明すると、
①緑線がa度回転しピンク線と重なる
（回転軸がAからBへ移動）
②ピンク線がｂ度回転し水色線と重なる
（回転軸がBからCへ移動）
③水色線がc度回転し最初の緑線と重なる
→これで180度回転したことになる。（＝a+b+c）
>> Dark Side of the Moon さん
そうですね。表現などその通りだと思います。
その方が私の感覚では、180度という事がわかりやすかったというだけで、フラグは必須ではないと思いますよ。
windowsペイントでは二等辺三角形しか無かったのですが、もっといびつな三角形でも同じです。頂点を軸に回転する感じが、この図だと伝わるかなー？
さっきの図で三角形の中に丸い矢印を３本書くとごちゃごちゃしたので、外側の頂点近くに矢印を書いちゃいました。それで誤解を受けた気がしています。
>> さと さん
この絵だと、フラグが頂点間を移動しているのではなく、赤い線（赤棒？）が回転していることがよく伝わります。わざわざ修正して頂き有難うございました。
>> パルディン さん
パルディンさんの考え方がわかって来ました！まずスケーターが１回転するとは何かを考えてみました。
左下の三角のように、２つの角を曲がって、元の位置に戻って来た時点で１回転ですね。
三角は３つの角がありますが、スタートとエンドが交わる点、ここは曲がる為の角ではないのですね。
同じく、５点星や７点星、９点星、１１点星なども、スタートとエンドが交わる所は曲がらない。
だから５点星の場合は２角×２回転＝４角
７点星の場合は２角×３回転＝６角
９点星の場合は２角×４回転＝８角
１１点星の場合は２角×５回転＝１０角
となるわけですね。
で、回転数を曲がり角の数（スタートエンド角は含まない）で割ると、180°になるわけですねー。理解しましたー！
スケートの回転数から導くとは素晴らしい考え方ですね！
>> Dark Side of the Moon さん
線が空中移動するパターンも作ってみました。空中移動＝線より離れた場所に回転軸があるという意味です。
Piroschka@٩(ˊᗜˋ*)وさん
Dark Side of the Moonさん
いこさへどろんさん
公文書で横書きがカンマと過去に定められていたとは知りませんでした。賢くなった
>> 虹ふたつが雨あがった富士に@元yuki＊7 さん
楽しいですか？良かったです。私にはちょっと難し過ぎました～
もう少し簡単な問題なら楽しいんですけどねー
>> 草鞋虫@わらじむしと読みます さん
三角がいっぱいだから180度とは何だったんでしょうねー一筆書きの星を示しているのかな？一筆書きの星しかこのルールは使えないですからねー。
カラフルな図は、恐らく、Dさんや他の人が、a+b+c云々とやっていたのと同じ解き方っぽいですね。
アルファベットの代わりに色別にされたという感じでしょうか。
>> Dark Side of the Moon さん
並行線を書いて、回転軸を１点にまとめているのですね。こうして見るとまた、違う発見がありそう。（でよくわからない）
間欠的に回転して行ってるので１８０度になるんですね。
なんでだろう。
>> さと さん
分からない❗️全て回転軸は線の端部にあるように見えますが、線から離れた場所にあるのでしょうか？
>> さと さん
間欠的に回転しているのではなく、a.b.c…の順に連続的に回転しています。>> さと さん
今思うと間違えていました。「（フラグ移動なし）」と書いているけど、フラグ移動しますね。
頂点とフラグの場所が一致しない場合には、フラグが移動します。
ま一致するようにズラしていると仮定しても良いんですけど。
>> Dark Side of the Moon さん
あ、対頂角は等しいから、連続して回転してるのか。>> さと さん
間違い訂正！＞回転数を曲がり角の数（スタートエンド角は含まない）で割る
じゃなくて、
「回転角度（360°×回転数）を曲がり角の数（スタートエンド角は含まない）で割る」
が正しい式でした。
>> KITT3000 さん
棒立ちの人と、フィギュアスケート１回転の人と、４回転の人と、結果はどれも同じなんじゃないの？と一度意見してみるのはいかがでしょう(笑)もう少し身近な所だと、なわとび１重飛び、二重飛び、三重飛び、棒立ち、全部は同じなんじゃないの？とか。
>> さと さん
どこかを滑り出しとするなら、Aに向かう直線の中間かなでスケーターが振り向く(回転)角度は180-Aで、後はその足し算
最初に私が書いた式ですが、左辺は正しくは
(180-A)+(180-D)+(180-F)+…+(180-E)
順番の違いだけですが、と書くべきでしたね、
しかし、発想数分でも(理解して貰う為の)証明に数10時間、
面白解答ではあっても入試に適した解答ではない、
>> パルディン さん
その後また考えてみたのですが、やっぱり何か私間違えていたみたいで合わないなあ…再度考えてみます。
>> パルディン さん
右辺の回転数が何なのかを考えているのですが、わからないんです。>> さと さん
そう！その考え方だと違う気がするんですが、
「角度」で言えば、、、みたいな感じでしょうか。
例えば、60°の反対、裏の角度は何度か。
360°－60°で300°ですよね。
では、365°の反対の角度は何度なのでしょうか。。。
>> Dark Side of the Moon さん
空中移動、と書いたのは、基準となる赤い「線の長さが＝底辺の長さ」のまま回転したとすると、
②番の回転の時に、赤い線が振り子のオモリ部分みたいに空中をブランと回転するなあと想像しただけの話です。
回転軸の点が、赤い線の上に無く、線の外側に存在するため「空中」と書きました。
もし赤い線に十分な長さがあると考えれば、「空中」という考えは無くなるので無視して頂いても問題無いです(笑)
そもそもは、「フラグは回転軸ではない」という話です。
フラグ部分が頭、と考えると、頭を振ったりお尻を振ったりしながら回転して行きます。どっちが頭か尻か私の頭が混乱して来たため、フラグを付けただけで、フラグに特に意味は無いです。
>> さと さん
理解できました。けど、なんでそんなことをわざわざ私宛てに書かれるのかよく分かりません。
フラグが回転軸？、そんなことを話題にした覚えはないですが…？？
（私はフラグが頂点移動しているように見えたので、それが成立するのは正三角形の場合だけでは？、と書いただけです）
>> Dark Side of the Moon さん
＞フラグが頂点移動しているように見えたので、それが成立するのは正三角形の場合だけでは？と書いただけですそうそう、それに対する回答ですよー
｢フラグが頂点移動｣とは、どういう意味かよくわからないですが、フラグと頂点がズレた場合にスライドさせて、頂点とフラグを一致させても別に良いです。一致させずにズレたままでも良いです。
フラグと頂点(回転軸)とはなんの関係も無い、という事を書いてるだけです。
で、フラグをなんの為に書いたかと言うと、右側から左上に向かって角度が加算されて行き、真左まで角度が増えていく軌跡が、直感的にわかる為です。
フラグが無くてもわかる人にはフラグは必要無いと思います。
Cの位置から、B辺り、A辺り、G辺りを通過して、F辺りに180度回転するという、半円のような軌跡がイメージできるからです。
フラグが無くても半円を描くイメージができるならフラグは必要無いです。
>> さと さん
いや、その件については理解してお礼までお伝えしたはずなのですが…
フラグが頂点移動とはこの絵のことです。>> さと さん
えっと、補足しておきますと、｢フラグと頂点(回転軸)は一致するか否か｣
の議論をしてるんじゃないですよ。
誰もそんな事(フラグ)になんの興味も無いと思います（笑）
フラグが意味不明なのは承知の上であり、その上でフラグが何なのかの言い訳をずっとしてるという事です。
空中とは何か、とか聞かれたので答えてるだけで、読まれてわかる通り、なんの意味もない話しです（笑）。
>> KITT3000 さん
反対の角度とか、裏の角度の定義が何か？という事ですね。例えば、内角に対して外角は、180°-内角=外角 ですね。
KITT3000さんの言う裏の角度」の定義が、
360°－角度＝裏の角度
という事であれば362°の「裏の角度」は、-2°なんじゃないですか？
>> さと さん
そうですか、やはり！スケート理論は独自過ぎますかね、
懲りずに次は針金理論(笑)で
針金の一方の端を固定して〜
ぐにぐに曲げて終端が3回巻くと終端点も３回転、
もう一方星型にパキパキ曲げて行ったら終端は何回転？
途中はすっ飛ばして(笑)考えましょう、無理か？
>> パルディン さん
いや、諦めずに考え続けていますよー仕事しながら家事しながら、頭の片隅で。
この問題は２分で解けましたよ。算数、数学って得手、不得手がありますから、無理にわからない問題を解こうとしないほうがいいです。
ちなみに私は後期高齢者の手前です。
最近の何とか理論もほとんどわかりません。
ただ、高校の問題がわからなければ、中学に戻るとか、基礎が出来ていないとある難しい問題がたまに解けてもなんの意味もないと思います。
どういう風に展開していけば、このように会話が続けるのか未だに分かりませんが、私の場合、スレを立てても、期待する意見がないまま終わってしまいます。参考にしたいと思います。
勝手にお邪魔しました。私のことは気にせず、会話を続けてください。
>> あまちん さん
2分で解けたのは、どういう解き方ですか？興味あるので詳細に教えて下さい。
(…という風にやっているので長続きしているのですよ。色々な発想の解き方がありますからね)
それから、優秀なお方のようですので、良かったら、下のコメントの解き方を解説して頂けると嬉しいのですが…
https://king.mineo.jp/my/sato/reports/254647/comments/4775190
https://king.mineo.jp/my/sato/reports/254647/comments/4777269
>> さと さん
今、読んでる暇がないので、私の解法だけ示します。この図でわかりますか?>> あまちん さん
頂点が5個のものも書いておきました。こちらは、更に簡単にした場合です。
>> あまちん さん
わかりました。王道の解き方ですね。他の皆さんも一番多かったのがこの解き方でした。
三角形の取り方は人によって色々でしたけど、基本の考え方は同じですね。
>> さと さん
数学を楽しみたいなら、色々な解き方にチャレンジすればいいですが、普通の子供であれば、却って混乱してしまいます。簡単な図形問題から幾何学と呼ぶようになりますが、補助線一本で解ける問題も多いです。シンプルな解き方で理解すべきです。皆さんの解法は見ていませんが、複雑、特殊な解法は、基本が十分使いこなせるようになって、余裕があれば考えたらいいですが、まず、しないほうがいいでしょう。
しつこいようですが、まず、基本です。
この問題で言えば、5頂点の問題もすぐに分からなければ、その前に外角の公式に戻るようにしたほうがいいです。
5頂点の問題がすぐに分かるようになれば、7頂点に取り組むべきです。
いきなり、7頂点の問題の解法をあれこれ模索する必要は全く無いです。無意味です。
失礼なことを言ったかもしれませんが、私の言いたいことは理解してください。
>> さと さん
一瞬見ましたが、何回転とか、私にとっては意味不明であって、すみませんが、理解するつもりはありません。この解法を知らなくても東大くらい入れますよ。
余談ですが、気を悪くされる方もいるかも知れませんが、ご容赦ください。
>> あまちん さん
ひとつ、問題をさしあげましょう。これは、30年以上前の某難関中学の入試問題です。数字などは、うろ覚えなので、適当です。
7頂点の本題よりはるかに難問でもあり、良問です。でも、小学生レベルの問題ですから、x.aとか使って、解きませんし、三角関数やルートも使いません。
解法が分かったら、なぁ〜んだって感じです。
算数を楽しみたい方はどうぞ。
>> あまちん さん
うーん、１辺10cmの正三角形の半分、答えは割り切れない値になりそうですが、スッキリするような解法があるんでしょうか。
>> さと さん
ごめんなさい。やっぱり、ぼけてました。問題は上の図です。
もう、おわかりだと思いますよ。
>> あまちん さん
底辺10cm、高さ5cmの三角形で、25 ㎠ですね。
最初の問題がヒントになりました（笑）
これは、灘中で実際に出題された問題です。
易しいし部類ですから、5分くらいで解かないと、他のむづかしい問題に時間が取れません。
でも、この問題も難しく考えてしまうと、中々解けません。
正三角形に気づくかどうかです。
中学では、どんな図形問題が出されているか知りませんが、補助線一本、二本に気づくかどうかという問題も少なくありません。
こどもには、解けた喜びを与えてあげてください。