受信メールを残したい

>>2 へれんさん

iPhone標準のメーラーですと、設定でサーバーにメールを残すようにできます。
多分、メーラーの設定がpop3になっていると思われますので、「設定」→「メール」→「アカウント」→mineo.jpを選択
アカウント情報の下の方に「詳細」項目がありますのでそれを選択、受信設定のところに「サーバーから削除」の項目があるので、そこを「しない」にするとマニュアルで削除しない限りサーバーのメールは削除されません。
また、同じ設定場所に（削除したメッセージ）の項目があり、そこの「削除」で「しない」「１日後」「１週間後」「１ヶか月後」のどれかを選択すれば、ゴミ箱のメールは前記のタイミングで削除されます。

メールは-@mineo.jpですか。
通常でのメール設定はIMAPになると思うので、メーラーはサーバーにあるメールを見るだけになります。
もし、何もオプション設定を行っていないとメールの保存期間は60日になっています。
http://support.mineo.jp/usqa/service/basic/mail/4000067_8851.html
上記にあるようにメールボックスの容量を5GB（無料）に変更を行うとメールの保存期間は無制限になります。不要なメールは手動で削除しないと無制限（5GBまで）に溜まりますので注意が必要です。
あと、メーラーによりますが、メールボックにサブホルダを作成してメールの整理も可能です。お試しください。