機種変手続きのタイミング

mineoで買うという事なら、AプランVoLTE SIMをお使いのようなので、SIMの変更の必要もありませんし、機種変更を申し込んでおいて、端末が届いてもそのままにしておいても問題はありませんよ。いつまでに使わないといけないというルールもありません。
ただ、新たに買った端末は、初期不良がないかを確認するためにも、なるべく早く電源を入れて動作確認された方がいいと思います。
動作確認して問題ないと分かれば、どれだけ眠らせていても問題はありません。
購入してから何ヶ月も経ってから、初期不良ですと言っても受け付けてもらえないのでご注意ください。

質問の回答としては回答No.1でTaka.R1さんが丁寧な回答をされているので、補足を少しだけ。

＞機種変手続き

mineo通信を契約してスマホを利用している場合、そもそも「機種変更手続き」というものが不要です。

端末購入
　↓
SIM差し替え
　↓
各種設定

と、自分でSIMを差し替えて、設定が完了すれば使えます。
（新端末と現行のSIMが適合するかの調査は必要ですが、gris_grisさんの場合はシムフリーiphone利用でau VoLTE SIMなので問題ないと思います。）

＞売り切れ前に買っておきたくて

iphoneの場合、Appleが取り扱いをやめるまで「売り切れ」という事にはなりません。
仮にmineoで売り切れていたとしても、Apple公式で購入できる場合が多いともいますよ。
（iphoneの機種にもよりますが、現状iphone8、XR、11はApple公式で購入できます）

mineoでiphoneを購入するメリットもそれ程ないと思いますので、必要な時期にApple公式で購入する事も検討したら如何かなぁ、と。

ご参考になれば。

もし、Apple careをつける場合、

・iPhone購入と同時、または
・iPhone購入日から30日以内

に加入手続きを行う必要がありますので、念のためにお知らせします。

(mineoから購入する場合は、わかりません。)

(購入日に関して正確な情報を知りたい場合は、Appleサポートに連絡した方が良いと思います)

新端末って具体的には何でしょう？
アップルから直接購入するなら
在庫切れリスクはほぼ無いですよ。

あと現在AプランVolte SIMを使っているなら
mineo経由で購入する理由は全く有りません。