iOSアップデート(pc無し)

変則的な方法ですが、ご参考まで。
最悪 iTunesによる復元が必要となることも考えられます。いざという時にお知り合いなどにお願いできる状態での実施が望ましいです。
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Apple Beta Software Programに登録（無料：Apple IDでサインイン）すると、対象機種を登録後、パブリックベータ版用のプロファイルをダウンロードすることができます。
https://beta.apple.com/sp/ja/betaprogram/

この状態からだとWi-Fi経由でクリーンインストール用のベータ版iOSデータをダウンロードできます（通常のアップデートとは異なり、iTunesで新規インストールするのと同じ2.3GB程度の大きなデータです）。

離れたバージョンから実施したことがないので、実際に9.3から可能なのか分かりませんが、とりあえずベータ版用のプロファイルをダウンロードして確かめてみるのはいかがでしょうか。OTAでのインストールが不可ならその旨表示されると思います。
（通常のOTAでアップデートが可能な範囲の場合、特に初期化せずにベータ版がインストールできますが、9.3からの場合この辺も分かりません。最終工程でiCloudのバックアップから復元も必要になるかもしれません。）

あと、ベータ版をインストールするとダウングレードして通常版に戻す際にはiTunesが必要になります。
今だとベータ版は12.1.2になりますが、通常版が12.1.2になったタイミングでベータ版用のプロファイルを削除すれば、OTAで通常版のiOSをダウンロードしてインストールすることができます（12.1.1で確認すみ）。

ちなみに手元の5sは、12.1.1（〜パブリックベータ3）→12.1.1（通常版）→12.1.2（パブリックベータ1）で今のところ問題なく動作しています。

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（旧投稿を削除して内容書き換えました）

バージョンが離れすぎるとOTAでのアップデートは出来ませんね。

最近の質問がありましたので、こちらをどうぞ。
https://king.mineo.jp/question-answer/端末／各種設定／操作 スマートフォン/20738

回答ではないのですが、、

現在のos9.3との事ですが、
具体的にお困りの事が、ありますか？
アプリが対応してないとか、使いたい機能があるとか、、、

iOS 12.0は、《古い機種でも動きが速くなる
5Sも対象 》と言う事で、私もアップデートしたのですが、、（リスクは承知で）
数日後、急にバッテリー消費が激しくなり
１、２時間でシャットダウンする様な異常な状態になりました💦（改善せず手離しました）

アップデートだけが原因ではないかもしれませんが、
アップデートは、プラスだけではなくマイナスも起こり得るので、、、

長くお使いになりたいのでしたら、
アップデートしないのも有りかな
と思いました^^;

後向きな意見で申し訳ありません🙇♀️

> ちなみにネカフェに行きましたがバージョンが古くダメでした

iTunesのバージョンが低すぎてiOSのアプデが出来ないというのは良く聞きます。
最初にiTunesのアップデートをすれば良かったのではないでしょうか。
他にネットカフェのPCのOSそのものが古かっりが原因だとしたらビジネス席とかに比較的新しいPCがあったりする事も。

そのメッセージが出るとなるとパソコンがないと更新は無理だと思います。

パソコン所有の友人にお願いするか、新たにパソコンを購入しましょう。

一例ですが中古ですと1万円台のものもあります。

・NEC 〔中古〕【MARN10P】VK22L/8503（中古保証1ヶ月間）
https://www.pc-koubou.jp/products/detail.php?product_id=659396

追記です
ネカフェで更新成功しました。以前は夜中にしたため、回線速度の低下も一因でしたが、今回は平日の昼間に行いました。
iTunesの更新は必須でしたが、コンピュータを再起動せず、iTunesのみ再起動で完了できました。
皆さん様々な知恵をありがとうございました。これで5sを目標東京オリンピックまで使い倒します……