auからのキャリア切り替えでスマホが使えないタイミングがあるんでしょうか？

基本的には、物理SIMが届いてからmineoマイページにログインし、9:00〜21:00（mineo_D・mineo_A。20:00以降は翌日に回る）または10:00〜19:00（mineo_S。18:00以降は翌日に回る）の間に回線切替を行えばOKです。

切替にかかる時間は30分〜１時間です。mineo_AプランかつeSIMならばもう少し早いかもしれません。

出先で切り替えるならば、SIMカードの抜け殻にあるICCID（mineo_DならばAX/DN/GD...、mineo_A/mineo_Sは898...）の下４桁をメモするか、SIMカードの抜け殻を写真で撮っておくと良いでしょう。

一時的に遮断されるとしましたら、多分このあたりでしょうか…
☆★☆ヾ(⌒⌒*)えいっ
▶︎ MNP転入切替／回線切替／プラン変更（番号引き継ぎ）切替｜mineoユーザーサポート https://support.mineo.jp/setup/guide/kirikae.html

>キャリア変更の際、タイムラグが起きずにすんなり切り替えられるものなのか私も不安に感じており、どうアドバイスしていいものかと。
→大丈夫です。すんなり切替られますよ。
MNPですよね。
SIMが届いた後に、mineoでネットからMNP回線切替を実施します。その時点で前のキャリアは解約となり、通信が出来なくなります。その後間もなくmineoで通信ができます。
APN設定などで戸惑うとその分通信出来ない時間が出来てしまい、そのタイムラグの最小化に気を配りましょう。つまり、利用端末での下調べですね。