auからのキャリア切り替えでスマホが使えないタイミングがあるんでしょうか？

基本的には、物理SIMが届いてからmineoマイページにログインし、9:00〜21:00（mineo_D・mineo_A。20:00以降は翌日に回る）または10:00〜19:00（mineo_S。18:00以降は翌日に回る）の間に回線切替を行えばOKです。

切替にかかる時間は30分〜１時間です。mineo_AプランかつeSIMならばもう少し早いかもしれません。

出先で切り替えるならば、SIMカードの抜け殻にあるICCID（mineo_DならばAX/DN/GD...、mineo_A/mineo_Sは898...）の下４桁をメモするか、SIMカードの抜け殻を写真で撮っておくと良いでしょう。