auからのキャリア切り替えでスマホが使えないタイミングがあるんでしょうか？

>キャリア変更の際、タイムラグが起きずにすんなり切り替えられるものなのか私も不安に感じており、どうアドバイスしていいものかと。
→大丈夫です。すんなり切替られますよ。
MNPですよね。
SIMが届いた後に、mineoでネットからMNP回線切替を実施します。その時点で前のキャリアは解約となり、通信が出来なくなります。その後間もなくmineoで通信ができます。
APN設定などで戸惑うとその分通信出来ない時間が出来てしまい、そのタイムラグの最小化に気を配りましょう。つまり、利用端末での下調べですね。