家族2人がauから乗り換える手順について

まずはauがどんなプランなのか調べてもらえますか？
契約更新のタイミングや入っている料金プランによって
安く乗り換える手順が変わってきます。

もうひとつBASIOですが
型番によってNGなものがあります。
私の親も使っていましたが、初代のためダメな型番でした。
うちのBASIOだと左側面の下側に小さく印字されてます。

初代　KYV32　mineo×（使えません）
2代目　SHV36 mineo Aプラン〇(simロック解除必要）
3代目　KYV43　mineo Aプラン〇(simロック解除不要）

auでの現在の契約者はどのようになっていますか？MNP前後で契約者が同じであることが必要です。
また、契約者名義のクレカも必要になります。

契約者がご両親のいずれかで、クレカがあるなら、その名義で申し込むことになります。
契約事務手数料が無料になるエントリーコードを準備しましょう。
7057053 さんの契約が一年以上経過しているなら、一つは付与されているはずです。
無い場合は、アマゾンなどで販売されていますのでそのようなところから調達してください。
ご両親分として2つ必要です。

申込みの際は、 7057053 さんからの紹介の形をとってください。マイページに紹介URLが記載されています。

端末の調達は、mineoではない方が良いと思います。
ネットでも量販店などの店頭でも、いろんなものが大抵はmineoより安く調達できます。

BASIO3
auブランド端末（KYV43）
Aプランau VoLTE対応SIM（nanoサイズ）
動作確認バージョン：Android 7.1.2
（ビルド番号：1.010FO）
SIMロック解除：不要
データ通信　〇
音声通話　〇
テザリング　〇　
SMS　〇

mineoの動作確認済み端末で見ると、「BASIO3」だとそのまま使えるようです。
BASIOが3なのか確認してみてください。

・契約者をお父さんにする場合、通話が必要ということなのでディアル回線になり7057053さんからの「紹介」が使用できます。
「紹介」を使用することによって、双方にお得があります。

・7057053さんは、開通から1年以上たっているようなので「エントリーコード」を持っていると思います。使用していなければ、「エントリーコード」を使用して申し込みがお得です。
「エントリーコード」を使用することで申し込み手数料がいらなくなります。

・契約者の方の、本人確認証明書とクレジットカードが必要です。

・お父さんとお母さんは、同じIDで複数回線でいいと思います。（契約者はお父さんで使用者はあ母さん）
同じIDの場合、申し込みしなくても自動的に家族割が適用されます。
2人とも、7057053さんからの「紹介」で申し込み。「エントリーコード」が2個あれば、2人とも使用。

今は、キャンペーンで新規MNP回線は、3Gコースがお得です。

お父様・お母様共にauの契約切替期間でしょうか、切替期間以外ですと手数料が高額ですけど？

切替期間に余裕がある様でしたら、お父様のガラケーをauで機種変更（例えば、お母様と同じらくらくフォン）されて、お母様の切替期間にお二人同時にMNPされれば、お父様の解約手数料は安く（1千円）抑えられますしご希望の端末も手に入りますが？

7057053さんの、エントリーコードはmineoマイページで確認できますし、エントリーコードが一つしか無ければ、お近くのJoshinで安く購入できますよ（ネットで見たら370円でした）