回線切り替え完了になってますが…

マイページで手続しても、実際に通話・通信できるまでは30分程度かかります。
いつ回線切替手続きをなされましたか。

111に電話してアナウンスは流れますか。
回線が有効になれば、特別な設定はなしに通話できるようになります。
データ通信はAPN設定しないといけませんから、まずは通話できるかどうかを先に確認してください。

通話ができるのであればAPN設定に間違いがある可能性がありますから、機種がSO-02Jなら、
「Sony Mobile Communications Xperia X Compact 【SO-02J】ネットワーク設定手順」
http://support.mineo.jp/manual/network_setup/so-02j.html
をごらんになってAPN設定に間違いがないかご確認ください。
他の機種であったとしても、基本的に設定方法は同じですけれど。

小耳に挟んだ話ですが、端末の再起動で解決しませんか？

転入初心者のゆかちんちんです。
同じ事が発生しました。
D社からの転入で、回線は、mineo-dですが、アンテナは立っているのに、データ転送ができませんでした。
原因は、APN設定を、インターネットで調べたサイトが間違っていて、mineo-d.jp　のところ、mineo.jpになっていました。
その修正をしたらすぐに、正常な状態になりました。