メールについて

最初から付いていたメールアプリとはどのアプリでしょうか？
アプリのアイコンがわかるように、スクリーンショットを撮って、ここに上げられますか？

最初はメールの数が表示されていたといいますが、それは具体的にいつ頃ですか？
auを契約していた時ですか？mineoを契約してからもですか？

メールというのはなんのアカウント(～@mineo.jpや～@gmail.com)のでしょうか？

はじめから入っている「メール」というアプリをお使いでしょうか？
それを前提にコメントいたします。

おそらく同期の設定ができていないか、あるいは同期間隔が長くなっているためだと思います。

「メール」アプリを開き、メニュー（・が縦に3つ並んだボタン）から「設定」を選びます。
「アカウント管理」でメールアドレスを選び、「同期設定」へ進みます。
すると、「Eメールを同期」「同期スケジュール」という項目があると思います。
「Eメールを同期する」を有効にし、「同期スケジュール」で同期する間隔を設定します。

「同期スケジュール」というのは、スマホがメールサーバーに新着メールがあるかチェックしにいく間隔のことです。
間隔を短くすればリアルタイムに近いかたちで新着メールを受信できますが、短く設定するほどバッテリーを消耗します。

これでうまくいくといいのですが…。