フリータンクにパケット入れる度に

連携済みならマイネ王ホームページからイン出来ますが…

mineoアプリで毎回ログアウトされるのでしょうか？
ログインしたままでも問題ないと思いますが・・・

あるいは勝手にログアウトされてしまうのでしょうか？

フリータンクに入れたことはありますが出して借りたことは
ありません。

「一定期間のパケット操作が無かった為、eoID連携の有効期限が切れました。再度eoIDでログインして下さい。」となるのではないかと思います。
私もフリータンクにパケットを入れる時くらいしかログインしていませんので、毎回eoID連携の有効期限切れでマイネ王のログインとeoIDのログインをしています。
また、7月31日17:55現時点でマイネ王から「eoIDでログイン」しようとしても、ログインボタンが非活性のためログインできず、
フリータンクにパケットがいれられない状態だったりします。