4人家族の一人名義変更

どちらが先か
・ｍｉｎｅｏで名義変更して転出
・転出してから名義変更
という問題もありますが、１８歳以上の方であればｍｉｎｅｏでの名義変更が可能です。
https://support.mineo.jp/usqa/use/account/name/4206895_8886.html

転出先での名義変更が可能かの確認が必要かと思います。
（一部のキャリアでは名義変更を死亡時の引継ぎに限るところもあります）

大手4キャリアは、新旧名義人が店舗に出向いて手続きすれば、MNPと同時に名義変更できるそうです。大手はオンラインで異名義転入はできません。
楽天モバイルは店舗でも同時にできません。

MVNOはネットで異名義転入できる所が複数あるみたいです。
https://king.mineo.jp/reports/189073
このスレによると
mineo
イオンモバイル
Y!モバイル
IIJmio(別居家族も可)
J:COMモバイル

キャリアへMNPであれば同時に名義変更も出来ます。

>> さと さん

あ、楽天はだめなのですね失礼しました。

転出先の会社が、異名義転入に対応しているかどうか調べる

１．対応していない場合
・mineoで名義変更
・新しい名義でMNP転出
※結構な日数がかかります

２．同時にできないが名義変更はできる場合
・現在の名義のままMNP転出
・転出先で新しい名義に変更
という方法も可能です。楽天モバイルなど。

３．対応していれば
一気に異名義転出

名義変更については皆さんがご回答されていますので、そちらをご参考にしてください。
もしご家族でパケットシェアを組まれていたら、MNP前にシェアグループの解散が必要ですのでご注意ください。詳しくは下記を参考にしてください。

携帯電話番号ポータビリティー（MNP）で他社に転出する流れを知りたい。
https://support.mineo.jp/usqa/apply/apply/mnp/4206870_8867.html