遅い時がある

mineoに限らず、経験しました。
別なこともあって、最近調べている内容です。
なぜか？なのですが長くなりそうなので、この後、簡単にまとめます。

答えだけ先に書くと、起こります。

SMSは相手の電話番号に対して送るテキストメッセージです。
（携帯のMMSとの違いは、画像などが添付できる点です、テキストの長さは実は端末次第でSMSでも長くできます）

電話をかけるように、回線（交換網のシグナリングチャネル）で相手に送信されます。
下にSMSの流れを順に書きますね。

・あずき さんのdocomo端末：SMS送る　→　CS（回線交換網）を経由　→　センター（SMSC）へ

この時、docomo端末に「送信完了」が表示されます。

この後、以下の流れでmineoにSMSが送られ、LINE側でメッセージを受信、
で相手が開くという流れになります。
（ここの間の時間差が今回は10分だったのだと思います）

つづきます。

ここからは不明点がまだあるので、曖昧なところもでてきますので、流れとして読んでください。

・センター（SMSC）※の先におそらくdocomoのSMSゲートウェイがあり、そこで電話番号からdocomo内なのか他のMNO（キャリア）なのかを判別して、相手のキャリアのメッセージセンターに送ると思います。

※SIMに書き込まれているMessage Center Numberの宛先のことです。

この後、auのメッセージセンターにSMSが届きます。
（SMS over IMSというLTEでやり取りする方式らしいのですが、僕もよく理解できてないです。IMSがメッセージセンターなのか、電話番号の登録だけなのか※）

※今調べたらKannon好きさんが詳しいので、後でコメントをいただけるかもしれません。

https://king.mineo.jp/question-answer/アプリ／WEBサービス SNS／メッセージ/1234

で、auのセンターに届いたメッセージをLINEが取りに行った時に相手の端末が「メッセージ受信」を音やアラートメッセージでユーザーにおしらせします。

※説明に不足などあると思いますので、詳しい方、フォローお願いします。

つづきます。

最後に

僕はdocomoのガラケーを使っていますが、体験上他のキャリアからのSMSはかなり遅れて受信することが多いです。

LINE同士のメッセージでも、以前メッセージが翌日に届いたこともあります。
（この時は相手がキャリアのiPhone LINEから、僕のWiMAX接続のLINEにメッセージをくれました）

キャリアが違うのでメッセージの配達に時間がかかり、さらに同じSMSでもCS網とIP網の変換（docomo〜au間）が入ったりするので、いろいろ大変なんだと思います。

Push Notifications Fixer
というアプリで設定すると、PUSH通知を取りこぼさなくなります
（アイコンにPNF NO ROOTと書いてあるものです）
LaLaCallでPUSH通知設定なのにリアルタイムに受信しないときにも有効です

あと、こちらは王国広場なので、質問は王国教室の方です

私の名前が出てるようなので遅ればせながら書かせて頂きます。（^^

まず、要点の整理ですが、今回の質問はLINEのメッセージ送信なので、
SMSを利用したものではないですね。
LINEのメッセージは通常のデータ通信を使って送受信しているものに
なります。

遅れる可能性としては、まずLINEを運営している会社のサーバーの問題の
可能性ですね。
この場合は、LINEを使う限りは個人では対処できません。

他には、スマホの設定で通知がすぐに行わない状態になっている可能性
ですね。
この場合は様々な原因が考えられますので1つずつ問題点をチェックして
いくしかないと思います。
http://did2memo.net/2013/05/05/naver-line-notification-error/

> ドコモの端末から

てっきり携帯電話（フィーチャーフォン：ガラケー）のテキストメッセージだと思い込んでました。
ハハハ、お恥ずかしい。
そうですね、よく読んだらドコモの端末のLINEからmineoの端末のLINEへメッセージを送った、ということですね。
良かった、Kanon好きさんの名前だしておいて。

あずきさん、すみません。僕の回答は忘れてください。
Kanon好きさん、ありがとうございます。