【受験数学】円周率は3.05より大きいことを示せ
受験シーズンですので、思い出した問題を。有名な問題ですね。
円周率が3.05より大きいことを証明せよ
東京大学（2003）
東大って書いてなければそんなに難しく見えない問題ですね。円周率が3とか言われてた頃の時勢を反映した問題のようです。
この問題文は極端に短いですが、制限時間150分で6問出されます。理Ⅲ以外の合格ラインはうち2-3問解けることです。
34 件のコメント
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>> まさや０７０３ さん
内接する正八角形の周長より、円周が長いことを利用する形ですね。落ち着けば大丈夫だけど、細かい計算があるのが本番だったら厄介ですよね。
東大を受ける人にとっては楽勝な問題だったでしょうか。
>> ninnin80s さん
予備校の講評で言うと、割と簡単な問題という評価ですね。でも数学の短い問題は大抵難問とよく言われているので、手を出さなかった受験生もそれなりにいたと思いますよ。
この問題は、周長を使う方法の他に、面積を使う方法や、テクニカルだけど中学生でも解ける方法（半径5の円を考えると（5,0）,（4,3）,（3,4）,（0,5）を通る事から周長を計算して評価できる）と言ったやり方もあるいわゆる良問であることが特徴ですね。
>> あんちゃん@二階堂大和さん最高 さん
私も東大には縁がありませんでしたね。>> mikecat さん
東大以外の大学でも円周率の問題は結構出されています。円周率πの値の数値を知らないものとして、図形と計算を用いてπが不等式 3 ＜ π ＜ 10/3 を満たすことを示せ。
（岐阜大学 2001)
3.10 < π < 3.22を示せ
（高知大学 2001) ※導入あり
3.141<π<3.142を示せ
（大阪大学 2013)※導入あり
導入なしの1文のみは、本番だとけっこう怖いですよ。
ただ、円周の長さを習う小5の時に、小数のかけ算は小数第1位までになったため、そうした話が広まりました。
内接三角形と外接四角形ではさみうちとか？
「π＝3」は概算であって、ちゃんと「π＝3.14」と教えていました。
>理Ⅲ以外の合格ラインはうち2-3問解けることです。
その理Ⅲがほとんど医学部っていうのがなぁ・・・
「難しくてわからない・・・」
とのことでした。
(>_<)
謎解き風に示してみるw
＞円周率が3.05より大きいことを証明せよ
3.05より大きい数字で円周率が記載されている「最新の」教科書を提出。
つまり、数学の教科書の円周率が記載されているページをコピーする。
コピーする教科書は、
一般的に、三社見積もりと言われるので、
三社の出版社の教科書のコピーを取り、
コピーした余白に、出版社名、教科書のタイトルを書いて提出すれば良い。
その教科書の内容自体が間違ってるかもしれないだろ！って？
もしそうなったら、
間違った内容の教科書を全生徒に教えるのかよ！
って証明なんてどうでもよくて、その教育問題に興味が行ってしまうだろう。
それよりも、もし私が出題者ならば、
「円周率が3.05よりも大きいにもかかわらず、円周率＝3で教えていたことを証明し、なぜそんな嘘を教えていたのか、その理由を答えよ。」
っていう問題を出したいw
ぱっと見、辺の長さにはsin(π/n)が出てくるだろうから、角度(ラジアン)を分数にしたくないからcosに直すと平方根の中に更に平方根の値が必要になるだろうから、n=10 or 12くらいは必要かな?!...とおぼろげながらに思ってました。
>> そらむ さん
>>その辺のおっ さんwikipediaにもその件の記事がありますね
円周率は3
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/円周率は3
>> 犬である。 さん
πが不等式 3 ＜ π ＜ 10/3 を満たすことを示せ。（岐阜大学 2001)
についてであれば、
内接六角形の周長<円周から
3<π
はいいとして、
π<10/3の方は外接八角形の面積での評価でしょうね。計算はめんどいので省略しますができるはず。
>> 天井 さん
東大の大学受験AI 東ロボ君の偏差値は57くらいらしいので、採点となるとやはり人力ですね。円周率が3.14だけを覚えていたら暮らしていけます。
>> 永芳 さん
周長でやると正八角形ですが、面積で評価すると、正24角形が必要となります。試験場で12で計算して足りないとなるとパニックになりますね。
>> mikecat さん
理Ⅲだと4-5問完答しないと合格ラインにいかないみたいですね。理Ⅲだと希望者全員医学部に入れますからね。難しくて当然なんでしょうが、狭き門ですよね。
>> sun3 さん
ピタゴラスさんには解けない問題かもしれませんが、アルキメデスさんは円に内接・外接する２つの正九十六角形を使って3.14を導いているのでした。>> KITT3000 さん
社会学のレポートならありかもしれませんね。>> タケシ28 さん
実生活で円周率使ったことないなあ。大学で習う数学なので。
>> ぺりどっと さん
面積だとn=8で「3<π」がちょっと計算すれば分かりますからすぐやめますね｡｡｡面積だとn=24が必要になるんですか...ヤダヤダ💧
（sin15°の値が要るという事ですかね?!(計算で出ますけど)覚えていない💦）
>> 犬である。 さん
きちんと定義をかいておけば許されるような気はします。フーリエ級数を使うとすると、ライプニッツの公式から不等式を作る感じですかね？
あれは収束が遅いので大変かもしれませんが。
>> 永芳 さん
sin15°は高校数学で言うと、半角公式を使って求める感じですね。30°、45°とかは覚えてて当然ですが、15°はやっぱり計算で求めないとだめでしょうね。
sin15°＝sin(45°-30°)＝sin45°･cos30°-cos45°･sin30°で求めますね。
高一の教科書(数学Ⅰ)には、発展としてsin15°・cos15°(sin75°・cos75°)を三角形に補助線を引いて求める方法が載ってました。
十干十二支一回り以上前に学生を終えた頭には、ほぼほぼ残ってなどいない...😭💦💦
>> ぺりどっと さん
私の時代（相当昔）は、確か３問だったような。全部解ければ理Ⅲ、１～２問それらしきことが書いてあれば理Ⅰ、全く解けなくても他の教科の点によっては理Ⅱ合格くらいの感じだったような。ちなみに私は理Ⅰです。１問は問題の意味さえよく分からなかった記憶があります。