iPhone 機種変更

既に回答がありますが、順番にお答えします。

>>次はSIMフリーで購入を検討していますが、その場合、現在使用しているSIMカードはそのまま利用可能なのでしょうか。

しまっこ様の回答の通り、黒色のnanoSIMはiPhoneXでは利用できません...(>_<)
ですので、SIM変更が必須となります。
新端末がSIMフリーのiPhoneXにするとのことですので、mineo_Dプランでしたらテザリングできますので、プラン変更でmineo_Dプランにされることをお勧めします。

>>または新たに申し込まないといけないのでしょうか。

他社から乗り換え（MNP）や回線追加でなければ、SIM変更（黒色のnanoSIM→クリーム色のマルチSIM）かプラン変更（mineo_Aプラン→mineo_Dプラン）となります。

SIMが届いたら、mineoスイッチ経由もしくはアクティベーションの課程でWi-Fi接続して、Safariにて下記URL
●Aプラン
https://mineo.jp/apn/mineo-a2.mobileconfig
●Dプラン
https://mineo.jp/apn/mineo-d1.mobileconfig
にアクセスのうえ、APN構成プロファイルをインストールしてください。

そして、iPhone6→iPhoneXへのデータ移行ですが、ご自宅にPCがありiTunesがインストールされていれば、僭越ながら私が立ち上げた下記掲示板
◇iTunes（バージョン12.6.xまで）を用いた、iOS→iOSへのデータ移行◇
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/21917
◇iTunes（バージョン12.7.x以降）を用いた、iOS→iOSへのデータ移行◇
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/31572
をご参照のうえ、データ移行を行ってください。
iCloudの場合は、充電器に繋いで画面をスリープ状態（電源ボタンを押すと画面が黒くなります）にしてからiPhone6をバックアップ→iPhoneXをオールリセット→iCloudバックアップから復元、で行ってください。