月が変わるとしばらくネットに繋がらない……

みんなそうだと思います。
午前4時くらいまで我慢しましょう。

12/1　http://support.mineo.jp/mt/1857/
11/1　http://support.mineo.jp/mt/1851/
10/1　（通信障害が発生しました。）

月が変わるときに、色々と処理を行う関係でメンテナンスや通信障害が起きるようです。
https://king.mineo.jp/magazines/special/456

USER｢ヘイマスター♪ いつものよろしく！！｣

mineo｢かしこまりました｣

https://king.mineo.jp/my/29a0e048236472e4/reports/9334

ということは、大晦日～元旦にかけての「あけおめ」メールなんてとんでもない話なんですね。。(笑)
ま、いいんですけど(^.^)

こうしたトラブル（工事）はどの通信会社でもあることですが、決まって毎月1日０時から数時間というのは極めて珍しいですね。

普通は様々なやり繰りをして、こうしたこと夜中の2時や3時に開始して一般の利用者に迷惑をなるだけ掛けないようにするのが一般的です。
アイディアファームに月例のメンテナンス開始時間を遅くして欲しい、という提案を挙げてみるのも一つの手ではないでしょうか。