LaLaCall 留守電メール転送 通知

お使いになっているのは、iPhoneの標準メールでしょうか？

iPhone標準メールは、mineo.jpメールを設定した場合、プッシュ受信に対応していません。
ですので、設定されている受信間隔でメールを受信（フェッチ受信）することになるため、受信前はアイコンに通知（バッジ表示）は出ません。
しかし、メールアプリを開けば、その時点で受信されます。

つまり、LaLa Callの留守番電話のメールであるかどうかは関係なく、LaLa Callからの留守電メールのときに、たまたま受信前のタイミングでメールアプリを開いたということではないでしょうか。

以上をふまえて、以下のことを確認してみてください。

「設定」＞「メール/連絡先/カレンダー」＞「データの取得方法」＞「詳細」でmineoメールは「フェッチ」になっていませんでしょうか？

そして、ひとつ手前の「データの取得方法」で、フェッチの時間は「15分ごと/30分ごと/1時間ごと/手動」のどれが選択されているでしょうか？

例えば、ここで「15分ごと」になっているなら、LaLa Callの留守電メールがメールサーバーに届いたあと、15分以上メールアプリを開くことなく待っていれば、アイコンにバッジ表示が出るはずです。

このようにiPhone標準メールでmineo.jpメールを使う場合、キャリアメールのようにリアルタイムにメールを受信（プッシュ受信）することができません。
もしプッシュ受信をお望みであれば、対応しているメールアプリに変更なさることをおすすめします。

見当はずれな回答である場合はご容赦ください。

Lalacallのオプション設定で通知先メールアドレスをプッシュ対応しているほうのアドレスに変えればいいのではないでしょうか。