LaLaCall 留守電メール転送 通知

お使いになっているのは、iPhoneの標準メールでしょうか？

iPhone標準メールは、mineo.jpメールを設定した場合、プッシュ受信に対応していません。
ですので、設定されている受信間隔でメールを受信（フェッチ受信）することになるため、受信前はアイコンに通知（バッジ表示）は出ません。
しかし、メールアプリを開けば、その時点で受信されます。

つまり、LaLa Callの留守番電話のメールであるかどうかは関係なく、LaLa Callからの留守電メールのときに、たまたま受信前のタイミングでメールアプリを開いたということではないでしょうか。

以上をふまえて、以下のことを確認してみてください。

「設定」＞「メール/連絡先/カレンダー」＞「データの取得方法」＞「詳細」でmineoメールは「フェッチ」になっていませんでしょうか？

そして、ひとつ手前の「データの取得方法」で、フェッチの時間は「15分ごと/30分ごと/1時間ごと/手動」のどれが選択されているでしょうか？

例えば、ここで「15分ごと」になっているなら、LaLa Callの留守電メールがメールサーバーに届いたあと、15分以上メールアプリを開くことなく待っていれば、アイコンにバッジ表示が出るはずです。

このようにiPhone標準メールでmineo.jpメールを使う場合、キャリアメールのようにリアルタイムにメールを受信（プッシュ受信）することができません。
もしプッシュ受信をお望みであれば、対応しているメールアプリに変更なさることをおすすめします。

見当はずれな回答である場合はご容赦ください。