10年前のスマホ

x 10年前→ o 7年前
のスマホで、SDXC 256GBまで対応ですね。対応するSD購入が確実ですよ。
お子さんと一緒に購入しに行きまショウ↑
https://www.ymobile.jp/lineup/androidone-s2/

そのスマホのGoogleアカウント設定とGoogleフォトの設定はどうなっていますか？
みさゆきさんのアカウントになっているなら、みさゆきさん側で見えるはずです。
逆に、古い方の端末からでも、新しい端末で撮影したものも見えます。

そうならないということは、アカウント登録されていないか、別なアカウントになっていると考えられます。

お子さんが何歳か分からないですが、お子さん用のアカウントは作ろうと思えば作れますよ。
年齢制限があるかもしれませんが、このあたりは詳しくないです。

私の子供が小さかったときに、同様にお古のスマホを渡してカメラとして使わせていました。
それがきっかけとなり、その娘はカメラが趣味になっています。
ミラーレス一眼や、GoPro、撮影用ドローンなどを揃えて、バックパッカーの貧乏旅行で世界中旅行してます。

お子様の年齢にもよると思いますが

SDカードに保存してゆく方法が良いのではと思います

Googleアカウントの作成条件
・ 13歳未満は利用できない
・ 後からアドレスを変更できない
・ 電話番号は複数のアカウントに使える

13歳未満の方でGoogleアカウントを作成したい場合は、親のGoogleアカウントの「ファミリーリンク」という機能を使う必要があります。また、保護者の方の電話番号やメールアドレスを入力し、同時にアカウント認証も行う必要があるため、親と一緒にアカウント作成を進めなければなりません。

Googleアカウントの作成方法を画像付きで徹底解説します

https://www.profuture.co.jp/mk/column/34405

SDカードが16GBなら、ご提示の画像で「3.37GB/3.52GB」となっているのは変ですね。
Googleフォトに写真を保存しているなら、Android One S2に設定しているGoogleアカウントを確認してください。
みさゆきさんと同じGoogleアカウントなら、Googleフォトへの自動アップロードがオンになっていない可能性があります。Googleフォトの設定を確認してみてください(画像参照)。
別のアカウントなら、みさゆきさんのスマホにそのGoogleアカウントを追加登録すると、Googleフォトでアカウント選択をして写真を見ることができます。

セリアでSDカードアダプタとマイクロUSBアダプタが売っていたと思います｡SDカードは32GBがダイソーで500円です。USBをつなげて､SDカード経由で写真データを取り出すのが確実な気がします

>新しい私のスマホには入ってこなくて、スマホを初期化したら消えてしまうのかなと。

これは単純に
●そもそもネットに接続していないか
●(ネットに接続した際に意識して)
写真をバックアップしていない
からだと推測します。
●ネット接続は固定回線で無くとも他のスマホのテザリングでOKです。
●ただし(パケットを消費または3日制限がかかるので)バックアップする写真のデータ容量に気を付けないといけません。
●意識して定期的にネットに繋げて
●写真をバックアップしましょう。
●無理にネットにバックアップする必要も無いですが、
●googleアカウントとは別に
●SDカードにも保存(二重)し
●さらにPCがあればHDDにも保存(三重)
●さらに(DVD-Rではなく)DVD-RWでも保存(四重)
しましょう。
●写真の容量は比較的少ないので
何重にもバックアップした方が良いです。
●可愛い時期の写真がHDDクラッシュで全滅してしまた知り合いを知っています。
●データは簡単に壊れるという事を事前に認識しましょう(消えてから慌てても遅い→写真復旧には大金がかかるor大金をかけても復旧しない)
●何重にもバックアップする写真(重要な写真)と
●消えてしまっても良い写真(重要では無い風景写真等)を区別しましょう。

>娘用にグーグルアカウントつくるか(そもそもそんなことできるのか)

●簡単に作成可能です。
●(年齢制限があるのか不明ですが)誰用と言うのは無いのでみさゆきさんの別アカウントを作成し
●娘さんが使用すると考えれば良いです。

●SDカードを取り出して
●googleアカウントを新規に作成して
●念のためみさゆきさんのgoogleアカウントを削除して
●新規作成したgoogleアカウントに(googleフォト含め)各種バックアップしてから
●初期化
が良いと思われます。