10年前のスマホ

そのスマホのGoogleアカウント設定とGoogleフォトの設定はどうなっていますか？
みさゆきさんのアカウントになっているなら、みさゆきさん側で見えるはずです。
逆に、古い方の端末からでも、新しい端末で撮影したものも見えます。

そうならないということは、アカウント登録されていないか、別なアカウントになっていると考えられます。

お子さんが何歳か分からないですが、お子さん用のアカウントは作ろうと思えば作れますよ。
年齢制限があるかもしれませんが、このあたりは詳しくないです。

私の子供が小さかったときに、同様にお古のスマホを渡してカメラとして使わせていました。
それがきっかけとなり、その娘はカメラが趣味になっています。
ミラーレス一眼や、GoPro、撮影用ドローンなどを揃えて、バックパッカーの貧乏旅行で世界中旅行してます。