mineoに変えるに前に

基本的にmineoで新規端末購入を行わない限りはバックアップや復元は自分で行わないといけません。

詳しくは、mineoの店舗ページをご参照下さい。
http://mineo.jp/shop/

確認ですが、よーちん85様はmineo_Aで契約し、そのSIM（非VoLTE）はSOL26（Xperia Z3）に挿す予定でしょうか？

もし、そうならば、auスマートパスなどといったau純正アプリは、
設定→アプリ→例えばau Wi-Fi→強制停止
として、機能停止を施しておきましょう。
また、@ezweb.ne.jpは使えなくなるので、IDなどに登録しているメールアドレスをGmailに変更しておきましょう。
LINEはauスマートパスのLINEならば、これはアンインストールし、PlayストアからLINEを取り直しましょう。ID検索をされたい場合は、au回線が生きている間にしておきましょう。

違う場合（端末とSIMを同時購入または機種持ち込みの場合）は、当然ながらデータの引き継ぎは自分ですることになります。その際、Googleアカウントのパスワードは最低限チェックしておいてください。...でないと、LINEすら取れなくなりますし、アドレス帳データをGoogleアカウントで同期している場合、それができなくなる恐れがあります。