Zen fone 3で電話しながらネットをする方法

残念ながらできません。
DSDAの機種を待つしかないです。

VoLTE対応機種はLTE回線を利用して通話を行うため、通話と並行してブラウジングが可能というメリットがあります。しかしながら、ZE520KLでVoLTEを利用できるのはAプランのみですので、プラン変更が必要となります。
http://buzzap.jp/news/20141027-au-volte-faq/

DSDSの宿命ですよねー。
私もAXON7を使っていますが、時に不便な点がありますよね。

一番不便なのは、企業電話からの着信の際に相手の名前が出ないんですよね。
迷惑電話拒否アプリ使ってても、着信した瞬間にデータ通信出来なくなるので、迷惑電話番号かどうかがアプリで判断出来ないという…(・ω・｀)
WiFi併用してるときは問題ないんでしょーが。

ZenFone3などのDSDSスマホの場合、
片方は3G専用SIM（通話専用）、もう片方はLTE（４G）SIMを使います。

このうち通話専用の3G専用SIMに掛かってきた電話の時はもう片方は通信が切れて利用できません。

LTE（４G）SIMが通話SIMの場合、
こちらに掛かった電話の場合はもう片方の通話専用の３GSIMは通信が切れますが、同時にデータ通信も可能です。

解決方法
人に教える電話番号を2つ教えるか、LTEの方に掛けてもらうようにしていれば問題はありません。
この場合LTEのSIMをMVNOにして、こちらからかけるほうをMNO(ドコモ)の３GのSIMにしておけば安心です。

もちろん片方がデータ専用SIMの方が安いですが、おっしゃるように不便な時がありますので通話SIMの方が安心です。