iPhone6ｓ→iPhoneXRへの乗り換え

Aプラン継続、Dプラン変更のどちらの場合もSIMを交換する必要があります。AプランならVoLTEにします。
mineoマイページの上の画像のところから申し込んでください。
SIMが届いたら回線切り替えが必要です。

★AプランのnanoサイズのSIMカードは2種類あります。
① nanoSIM（非VoLTE）黒色　
② VoLTE対応SIM オレンジ色　*マルチSIMです
Aプランの場合は端末に適合したSIMカードの選択が必要です。

auのiPhone6sで① nanoSIMをお使いの場合は
iPhone8以降の機種は② VoLTE対応SIMに変更が必要です。
mineoのマイページのご契約内容照会にSIMカードの形状が記載されています。

★SIMカード変更はこちらから　手数料2.400円税別
https://support.mineo.jp/setup/guide/reissue.html

★A→Dプラン変更はこちら　　手数料3.400円税別
https://support.mineo.jp/flow/plan_change_details.html

★機種変更された場合は回線切り替えと、プロファイルのダウンロード&インストールが必要です。

★なお、プロファイルのインストールはmineoアプリからでも出来ます。

★データの移行（転送）方法は3通りあります。
①クイックスタート：すでに iOS 12.4以降をインストールしてある iPhoneを使って、新しいデバイスを自動的に設定します。
https://support.apple.com/ja-jp/HT210216
今使っている iPhone を使って新しい iPhone を設定する場合、両方ともに iOS 12.4 以降が搭載されていれば、クイックスタートで iPhone の移行機能を使えます。
この機能を使えば、すべてのデータを使用中の iPhone から新しい iPhone に転送できます。

②iCloud：以前のデバイスの iCloud バックアップから、データや購入済みのコンテンツを新しいデバイスに転送します。

③iTunes：iTunes で作成しておいたバックアップから、データや購入済みのコンテンツを新しいデバイスに転送します。

★LINEの引き継ぎは下記を参考に
LINE　あんぜん引き継ぎガイド
https://guide.line.me/ja/migration/

皆さまが回答されているので、プロファイルの設定用mineoサイト貼ります
https://support.mineo.jp/setup/guide/ios_network.html

他の方が書かれているとおりで、今の非VoLTE SIMは使うことができませんので、aプランVoLTEか、dプランへの変更が必要です。
基本的にはmineoマイページから、変更の申請をすることになります。

もし、電話番号とmineoメールアドレスが変わってもよいのであれば、契約変更ではなく新規契約の方が安く済みます。
契約変更は2500-3500円程度必要です。
新規契約の場合は、手順を踏むことで、費用は戻ってくる方が多くなります。

上の表のとおり（字が小さいですが）、mineo_Aプラン継続ならばau VoLTE SIMへの変更が必須ですし、mineo_Dプランへ変更の場合はプラン変更が必須です。前者は2,640円（税込）が、後者は3,740円（税込）が引落クレジットから月額料と合わせて請求されます。

あとは、oban様が現在の電話番号・@mineo.jp・王国コイン等の「ファン∞とく」に思い入れがあるか否かで、プラン変更orSIM変更でこれらを維持するか新規契約でいくか...が変わってきますね。

新規契約ならば、「ファン∞とく」でエントリーパッケージをお持ちかと思いますので、これを活用します。
紹介アンバサダーが使えますので、ご家族名義の方の紹介用URLを踏むか、紹介用URLをプロフィールに載せてはるマイネ王ユーザーの紹介用URLをこっそり踏むか...ですね。

SIMが届きましたら、au VoLTE SIM・mineo_Dプランともにマルチサイズで来ますので、ICCIDが書いてある部分を指で押さえると、nanoサイズに簡単に切り取れます（mineo_Dプランは結構固いので注意！）。これをiPhoneXRに挿れて、iPhone6s（iOS 12.4.1以降にする）からクイックスタートでデータ移行が最も楽ですが、PCがあってiTunesがインストールされていれば、iPhone6sのバックアップ暗号化をしたうえでのデータ移行でもOKです。

最後に、mineoアプリからAPN構成プロファイルのダウンロード・インストールを行い、oban様のmineoマイページから9:00～21:00（20:00以降だと翌日に回る）の間に回線切替を行います。
新規契約の場合は、非VoLTE回線にて 王国コインをおみくじでパケットに変えて、全パケットを新回線に移行してから非VoLTE回線を解約...をして 無事完了です。

以上です。いくつか他の方と回答が被っていますが ご参考くださいませ。