機種変更

>>端末だけAppleのサイトで購入した場合、SIMカードを刺し直す以外に何かマイネオ で手続きすることはあるのでしょうか？

お使いのSIMがmineo_Dプランですから、ドコモプランはSIMサイズだけが要求されます。
よって、iPhone6sからiPhone11へSIMカードを挿し替えて、mineoアプリから「...」（その他）＞プロファイル設定＞Dプラン、でAPN構成プロファイルをiPhone11にダウンロード・インストールすればOKです。
...ですので、cacaoocaca様からは mineoで手続きすることは何もありませんよ♪

なお、お住まいが千葉県のようですが、iPhone11は、ららぽーとTOKYO-BAYにあるC Smartでも購入することが可能です（もちろん、SIMロックフリー版）。東京へ行くより船橋が近い場合は、ここで買うのもアリだと思います。

データ移行は、PCがあってiTunesがあれば、iTunesにてiPhoneバックアップの暗号化をしておけば、そっくりそのままiPhone11に移行されます。
PCがない場合は、現在のiPhone6sのiOSが12.4未満ならば 最新である13.2.3にアップデートしたうえで、iPhone11が手元にきてからクイックスタートでの移行が便利です。ただし、アプリの中身だけは引継ぎができません（TwitterやInstagramはログイン状態が維持されるもよう）ので、特にLINEはきっちり引継ぎを行いましょう。

DプランならSIM差し替えだけですので、mineoでの手続きなど何もすることはありません。

他の方々のコメントにあるように、SIMはそのままで使うことができます。

mineoプロファイルのインストールについては、私としてはmineoアプリをインストールしてから、このアプリのメニューからプロファイルインストールする方法をお勧めしておきます。
この方法だと、ネットに繋がっていないオフライン時にもプロファイルをインストールすることができるので、海外旅行の際に現地用SIMに差し替えたあと、元の環境に戻すとき便利です。

mineoでは、使用する端末はユーザーの自由なので、特に手続きはいりません。

iPhone6Sであれば、現時点で最新版iOSに対応しているので、今何かで困っているのでなければ、あえて端末変更しなくても良いと思います。
私自身は、iPhone6Sがサブ端末の位置づけではありますが、現役として使っています。

DプランはSIM継続利用可能です。
プロファイルのインストールが必要です。

mineoでの手続きは不要です。
SIMを差し替えて、構成プロファイルをインストールすれば使えます。

(Aプランの場合はSIM変更が必要だったりしますが、Dプランはnano SIMは一種類だけなので何もしなくて大丈夫です。)