機種変更

iPhone 8、X以降はnano SIMは利用できなくなりましたよ。
iPhone7まではSIMロック解除していればnano SIM、au VoLTE SIMどちらのSIMでも利用できます。

📌現在Aプランnano SIMをご利用中でiPhone 8/8 Plusを購入される方へ
Aプランnano SIMはiPhone 8/8 Plusではご利用いただけません。
そのためau VoLTE SIM、もしくはSIMロックの掛かっていないiPhoneの場合はドコモプランにプラン変更していただく必要があります。
https://king.mineo.jp/magazines/special/668

こんにちは としし さん

iPhone 5sは非VoLTEのSIMなので、かなり機種が制限されます。
勝っちゃんさんのご回答にあるように、iPhone 5s以降だと

iPhone 6
iPhone SE
iPhone 6s
iPhone 7

でしょうか。
AndroidだとxxL（SOLなど）と「L」の末尾に付く機種限定となります。

>新しい機種にカードを差し込み、プロファイルを設定するとつかえる状態になるのでしょうか？

iPhoneを前提にすると、上記4機種に関してはそうです。

もしiPhone 8/X、P10 liteなどAndroidのSIMフリー機をご検討の場合は

①mineoマイページでau VoLTE対応SIMに変更（2408円必要）
もしくは
②mineoマイページで端末追加購入（この場合au VoLTE対応SIMが無料で送付されます）

iPhone 8/Xをご検討の場合は、SIMカードの変更が必要ですので、ご注意願います。

・SIMカード変更・再発行
https://support.mineo.jp/setup/guide/reissue.html

既に回答がありますが、お答えいたします。

現在、auのiPhone5sを利用中とのことですので、黒色のnanoSIMをお使いですね。
購入すべきiPhoneは下記の通りです。
●au版iPhone→SIMロック解除しなくても、APN構成プロファイルをダウンロード・インストールで使用可能
iPhone6/6 Plus・iPhone6s/6s Plus・iPhoneSE・iPhone7/7 Plus
●SIMフリー版→APN構成プロファイルをダウンロード・インストールで使用可能（SIMロック解除済みのキャリア版iPhone含む）
iPhone6s/6s Plus以降のiPhoneすべて・iPhoneSE
●その他→SIMロック解除をする必要あり

iPhone→iPhoneとなりますので、データ移行が発生してきます。できれば、事前にiPhoneにmineoアプリまたはmineoスイッチをApp Storeからダウンロード・インストールしておきましょう。
もし、ご自宅にPCがあり、iTunesがインストールされていれば、僭越ながらスレ立てした下記掲示板
◆iTunes（バージョン12.6.xまで）を用いた、iOS→iOSへのデータ移行◆
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/21917
◆iTunes（バージョン12.7.x以降）を用いた、iOS→iOSへのデータ移行◆
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/31572
をご参照のうえ、データ移行を行ってください。
PCがないが、Wi-Fiがある場合は、iCloudでバックアップ→復元となります。このとき、充電しながら画面をスリープ状態にすることでバックアップまたは復元が行われます。
いずれにしても、時間は結構かかりますので、時間に余裕のあるときに行いましょう。

あとは、Wi-Fiが無くてもmineoアプリまたはmineoスイッチからですとAPN構成プロファイルがインストールできます。
●mineoスイッチ→三（メニュー）＞プロファイル＞「Aプラン ※iPhone 5s/5c以外」、とタップ
●mineoアプリ→...（その他）＞プロファイル設定＞「Aプラン ※iPhone 5s/5c以外」、とタップ
あとは、「許可」をタップ→インストール→（パスコード入力）→インストール→インストール→完了、と進みます。

もし、「◎Eメール...」のプロファイルが残っていた場合、これを消去してしまうと電話帳も消えてしまう恐れがありますので、しばらくは消さずに置いておくか、JSバックアップでの移行後に削除しましょう。
◆参考；iPhone→Androidへデータ移行《JSバックアップ編》◆
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/7553

長文になりましたが、ご参考ください♪