機種変更について

店舗でも少しはサポートしてもらえますが（有料）、あまり期待できないと思います。
端末の変更とは、apple storeでの新規購入でしょうか？
もしそうであれば、apple storeで対応してくれると思います。

そうでない場合、自分での移行になりますが、パソコン、itunesがあればiphone→iphoneはとても簡単です。
これらの環境はお持ちですか？

ＰＣ、itunesがある場合を前提にしますと

旧iphoneをフライトモードにする（しなくても良いですが、通信が行われると、この後で行うバックアップが、本体の状態と若干ずれる場合がある。例えば一部のメールが移行できない、ＬＩＮＥのコメントが一部移行されないなど）

旧iphoneをＰＣ、itunesにつなぎ、バックアップする
バックアップの際は、暗号化するというような項目をチェック入れておくこと
もし入っていなかった場合は、一度目に自動的に走ってしまうバックアップが暗号化されていないかもしれないので、念のためもう一度実行するのが良いと思います。

バックアップは、iphoneの容量やパソコン性能により時間が変わります。
私の環境だと、iphone5s 64GB で１時間近くかかったと思います。

終了したら、接続をはずし、新しいiphoneを接続する
新しいものは、初期化されているのが望ましいです。

itunesで、
新しいiphoneとして設定する
バックアップから復元する
などの選択肢が表示されるので、先ほど取ったバックアップから復元します。
こちらは、バックアップ時よりさらに時間がかかると思います。

復元が完了したら、ＳＩＭカードを差し替えます。

ざっとこんなところです。

パソコンがあれば、作業中に質問しやすいので、いいですね

ノートパソコンなら、これらの作業をapple storeで行えば、アドバイスもらえます

使える。
自分でやろう。
詳しくなろう。

サポート店の守備範囲になります。
店舗によりサービス内容や金額が異なります。

但しそんなに難しく無いのでご自身で頑張って欲しいです。

基本的には、
①SIMを差し替える
②アプリ「mineoスイッチ」があればそこから、ない場合はWi-Fi環境下にて、下記URL
http://support.mineo.jp/setup/guide/ios_network.html
にアクセスして、APN構成プロファイルをダウンロード・インストール
③iTunesまたはiCloud（Wi-Fi環境必須）から、バックアップから復元
でできます。

なお、iTunesがご自宅のPCにインストールされていれば、僭越ながら、下記掲示板
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/21917
を参照して、iPhone→iPhoneの移行を行なってください♪