プラン変更

現在がご契約のmineo回線への被せMNPをされたいとのことと理解しました。
下記がご参考になると思います。
http://kaden-net.com/kabusemnp-yarikata

エントリーコードと紹介用URLを利用した、新規（MNP）で契約をした方がお得です。

タイプ変更（通話なし）→通話あり（後からMNP　いわゆる、かぶせMNP)はできません）https://support.mineo.jp/usqa/apply/apply/mnp/4208368_8867.html

★はい、デュアルタイプ（データ通信＋音声通話）でご契約いただき、後から携帯電話番号ポータビリティー（MNP）いただくことが可能です。
端末の割賦契約、ご利用期間、データ残容量、メールアドレス、パケットシェアおよびそのメンバー、各種端末保証サービス（※1）、通話サービス（※2）、その他オプションサービス（※3）や各種割引についてはそのまま引き継がれます。
SIMカードの交換が必要となり、利用不可期間（※4）が発生します。
変更事務手数料は、3,300円（税込）となります。
また、SIMカードを再発行する際の変更事務手数料に加え、SIMカード発行料（440円/枚・プラン共通）が必要となります。

MNP回線開通後に「通話なし」の回線を解約します。

なお、AプランではiPhoneの機種によっては、デュアルタイプ（データ通信＋音声通話）のSIMカードが利用できない事があります。

動作確認済み端末検索を活用して下さい。
https://mineo.jp/device/devicelist/

今のmineoのシングルプランの契約を活かすなら、BM320Iさんご説明されている、いわゆる「被せMNP」になります。
もし今のmineoの契約期間リセットとmineoのメールアドレス変更を許容できるなら、新規契約を追加する形でauからMNPしてください。こちらの方が費用負担が少ないのと、不通期間がありません。

具体的には、
①20日にauのガラケーで157に電話してMNP予約番号をもらい、mineoにデュアルで契約します。iPhoneがSIMフリーもしくはSIMロック解除済みならA/D/SどのプランでもOKです。エントリーコードをお持ちなら使ってください。紹介制度も使えますので、どなたかから紹介を受けてください。
②SIMが届いても月末の前日まで待って、月末前日に回線切替をして、auからmineoへのMNPを完了させます。auは自動解約になります。シングルプランの方にエントリーコードが残っていたら控えておきます。コインがあったらパケットにします。
③次の日(月末日)にシングルからデュアルにパケットギフトでパケットを移行します(6GBまで)。
④月が変わって初日にもシングルからデュアルにパケットギフトでパケットを移行します(6GBまで)。
パケットが余ったら、フリーたんくに入れてください。それからシングルを解約します。

上でパケットギフトを2回に分けるのは、新規回線は利用開始から45日間は6GB/月までしかパケットギフトなどができないためです。

今mineoでご利用中のメールアドレスを継続利用したいですか？
それともメールアドレスが変わっても良いですか？

変わっても良いなら新規契約のほうが安いです。
変わるのがだめなら、今の契約の上にMNPすることになります。

いずれにしても、au契約中の電話番号を使いたいということかと思いますので、解約してはいけません。

auでMNP予約番号を取得して、mineo契約のときにこの予約番号が必要になります。

今お持ちのmineoパケット以外全て無くなっても良いなら
au→mineoデュアル新規契約をした上で
既存mineoシングルからパケットギフトをして
ギフト完了後シングルを解約しましょう。

プロフィールよりmineo歴は長いと思いますので
既存シングルが持っているエントリーコードを活用頂いて
デュアル新規契約をしましょう。
SIM発行手数料だけで新規契約ができます。

既存シングルが王国コインを持っているなら
ギフト前におみくじを引いてパケットに変えましょう。

既存シングル→新規デュアルへのパケットギフトが
6GB以上になる場合
新規デュアルへのパケットギフトは開通翌月に行って下さい。
パケットを無駄にせず消費できます。