iphone6からXRへ乗り換えの際に…

2つの作業を同時に行う事は出来ませんので
SIM変更手続きをしてから契約譲渡(名義変更)をしましょう。

名義変更（契約譲渡）についてはこちらを参考に
https://king.mineo.jp/magazines/special/602　一部抜粋です

お申し込みは下記の手順となります。
１．mineoサポートダイヤルにお電話ください。
２．申請書を郵送しますので、その申請書に必要事項を記載し、添付書類（本人確認書類のコピーなど）を同封の上、ご返送ください。
３．当社にて、ご本人様確認など新規ご契約時と同等の審査を実施します。
４．当社にて、譲受人の初期eoID／初期パスワードの発行、および契約の譲渡処理を実施します。
５．初期eoID／初期パスワード等を記載した契約内容通知書を譲受人宛に配送します。

ご自分の名義の契約としたいとのことですが、今の電話番号を継続した状態で、名義をご自身のものとするのか、電話番号を変えて、新契約としてご自身のものとしたいのかどちらでしょうか？

「自己解決済み」とありますので、余計なお世話かもしれませんが...。

>>今の契約は親がしており、乗り換えの際に自分の名義で契約し直したいのですがその乗り換えの手続きは複雑なのでしょうか…？
...とありますが、他社から乗り換えでしょうか？ それともiPhone6→iPhoneXRの「機種変更」でしょうか？

前者であれば、移転元名義（ゆきちっち様の親御様）＝移転先名義（mineo）＝クレジットカードの名義（ゆきちっち様の親御様）、が大原則ですので、ゆきちっち様が20歳以上かつクレジットカードをお持ちであれば、移転元で名義変更をする必要があります。

後者であれば、mineo内で名義変更をすることが可能です。ただし、クレジットカードが必須ですし、最年少で18歳（ただし、親権者の同意が必要）ですが原則20歳以上である必要が出てきます。
申し込みはmineoサポートに電話して、必要書類を揃えて郵送のようです。家族割引等は申し込みし直しとなります。