子どもが使用する携帯について

auでの契約者とmineoへの申込者、支払いカード名義が全部一致していないと契約できないので、契約者はあくまでもテニサカ さんになります。したがって、テニサカさんが申し込みをしてsimを受け取り、それを息子さんに送付する以外にありません。

問題になりそうな点は、
１．MNP転入切替をしないとauの回線の解約及びmineoでの利用開始ができないので、その手続を行う必要がありますが、手続を行って30分程度で切り替えになってしまうので、テニサカ さんがやってしまうと息子さんがiPhoneを利用できなくなってしまいます。したがって、MNP転入切替手続はあくまでも息子さんにやってもらう必要があります。

仮に何も切り替え手続をしなくても、auプラン（Aプラン）の場合、MNP有効期限前日に自動的に切替手続きがされてしまいます。したがって、mineoからsimが到着するまで日数がかかった場合、息子さんに転送している間にその時期が到来することもあり得ますので、その点には十分注意が必要です。息子さんとも十分打ち合わせておく必要があると思います。

２．mineoでデータ通信をするためにはmineoのプロファイルをインストールする必要があります。MNP転入切替手続の後にインストールしようとすると、WiFi環境でないとインストールできません。かといって、au回線が生きているときにインストールすると、今度はau回線でデータ通信ができなくなってしまいます。

そういう混乱を避けるために、あらかじめiPhoneにmineoスイッチのアプリをインストールしておいてください。そうすると、WiFi環境下でなくても、いつでもプロファイルのインストールが可能となります。
https://itunes.apple.com/jp/app/mineoスイッチ/id994047612?mt=8

SIMは不正利用を防止する為
本人確認書類の住所に転送不可で送付されます。

質問者様受け取り後別途お届け下さい。

SIMの送付先の件は「クリームメロンソーダ さん 」がコメントされている通りです。
細かいことですが「私がauの解約手続きをしてMNP番号を取得し....」
と記されていますが、
実際の流れは
　MNP予約番号を取得
　mineoにMNPで手続き　審査合格　手続き完了
　SIM到着
　お子様がSIM受領されたら　開通手続き　無事開通
　　（この時点でauは自動的に解約の運びとなります）
　これでお子様の不通期間はなくなるはずです。
　但し、MNPの場合は有効期限が１５日ですので、ご自身で開通されない
　場合は　auプランのようですから、MNP有効期限の前日に強制切り替えされます。
その点だけ注意されて、余裕もって手続きされることお奨めします。

あくまで　契約者は、自分で　お子さんには、無償貸与　と考えれば　すっきり手続きできるかと　お子さんの名前は、契約＆支払いに　登場しませんからね　貸与というのも契約でしょうが、口頭契約も立派な契約ですからね　これは、貸しとくんだよ　君が、管理してね　と言ってくださいね　

みなさんのアドバイスで充分に参考になったと思いますが、ひとつ気になったので、おせっかいかもしれませんが、

＞私がauの解約手続きをしてMNP番号を取得し、

とありますが、解約したら、ＭＮＰ番号は取得できません。

ＭＮＰ番号を取得して、ｍｉｎｅｏに加入して、ＳＩＭが送られてきたら、マイページで切り替え続きを完了、この段階でａｕが解約されます。

切り替えのタイミングで2年契約等の更新月を逃してしまうことのないよう気をつけてくださいね。