iphoneからの乗り換え＋今の使ってるiphoneを親に譲る場合

基本的な手順としては、まずツルさん自身のiPhoneを買い換えるのが先ですね。

１．Apple StoreでSIMフリー版iPhoneを購入手続きを行う

２．手持ちのiPhone 6をiTunesにて『iPhoneのバックアップを暗号化』にチェックを入れ
　 パスワードを設定した上でバックアップ。

３．mineoへSIMカード変更(AプランVoLTE SIM)もしくプラン変更(Dプラン or Sプラン)を
　 申込。
　（今はAプランVoLTE SIMでもテザリング出来るので料金面を考慮するとこれがオススメ）

４．新しいiPhoneとSIMカードが届いたら、SIMカードセットしiTunesにて先に
　　バックアップしたデータを使用して復元。

その後、iPhone 6へお母様の端末のデータを移行する手順となりますが、その前に、
Apple公式の修理サービスを利用してバッテリー交換を依頼される事をオススメします。
今年末までなら3,200円で交換可能です。待てるのなら配送修理の方が楽です。（^^

・iPhone 7 配送修理でバッテリー交換
https://king.mineo.jp/my/kanon/reports/41694

実際に私が配送修理でバッテリー交換をAppleに依頼したので参考にしてみてください。

５．iPhoneバッテリー交換終了後、お母様の契約をMNPでmineo Aプランnano SIM
　　(非VoLTE SIM)に移る手続きを行う。

６．SIMカードが届き次第、MNP転入切り替えを行った後、iPhone 6の初期設定を行い、
　　AQUOS U SHV37からiPhone 6へのデータ移行を行う。

・AndroidからiPhoneへ　絶対に失敗しないデータ移行術:iPhone Tips
https://japanese.engadget.com/2018/02/13/android-iphone-iphone-tips/

移行方法は上記記事を参考にしてみてください。

７．AQUOS U SHV37が不要であれば初期化した上でゲオなどに買取ってもらう。

とまあ、手順としてはざっとこんな感じになります。（^^

新しい端末を入手してください。
今のSIMは非VOLTEと考えられますから、このSIMでテザリングするためには、android端末が必要ですが、新品で購入できるものはほとんどないと思います。
iPhoneであれば、iPhone8以降のauロック版か、SIMフリー(ロック解除版でもOK）のiPhone6S以降を購入してください。この場合はVOLTE SIMが必要になります。

入手した端末がVOLTE対応のものになると考えられますので、mineoマイページのSIM再発行、交換から、aプランVOLTEへ変更の申込みをしてください。dプランに変更するのも選択肢の一つです。

お母さんの新規契約用としてエントリーコードを入手しましょう。
Amazonなどで入手できます。

お母さん用としてauからNPM申込みをして、番号を取得してください。

ツルさんさんの紹介URLを用いて、申込みを開始します。
上記で入手したエントリーコードを使用してくださいね。

申込むSIMは非VOLTEの物ですので間違えないようにしてください。

まずお母さまのauでMNP予約番号を取得します。ネットからでも実店舗でも可能です。
https://www.au.com/support/service/mobile/procedure/contract/cancel/cancellation/procedure-mnp/

ツルさんの次の機種を調達しなければいけません。これが少しややこしく、今使っているのはnanoSIMというものです。テザリングできるのはdプランで契約か、aプランならVoLTESIMに変更する必要があります。iPhoneのSIMフリー機ならどちらでも構いません。今のaプランに特に不満がなければそのままaプランのVoLTESIMで。
ちょっと繋がり悪いからdプランを試してみたいのであれば変更で（ただし今より良くなる保証はありません）マイページからなさってください。

次の機種が調達して新しいSIMカードも届いたのなら、iPhone6のバックアップを取ってそれを新しいiPhoneに以降です。PCのiTunesで取るのが確実ですが、今はクイックスタートというのもあるので、それでもかなりの部分で新しいiPhoneに移行できます。

新しいiPhoneへの移行が済めばそのまま初期化です。

最後にお母様のmineoの回線申込みをします。これはツルさんの申込みと変わりません。もしツルさんがmineoと契約して13ヶ月を経過しているようであれば、マイページにエントリーコードが届いているはずなので、それを使えば無料です。そうでなければAmazonでエントリーコードをお買い求めください。今は355円みたいですね。http://urx.blue/NcAZ
aプランnanoSIMでオーダーなさってください。

SIMカードが届けばそれをさしてプロファイルをインストールすれば完了ですね。このへんはツルさんがなさったのと同じなので詳しい説明は必要ないと思います。あとはおすすめアプリを入れて使い方を教えてあげるという流れでしょうか。
AndroidからiPhoneはそんなに戸惑うことはないと思いますが。

お母様のSIM発注とご自分の新しいiPhoneのセットアップは並行して行えば日数は短縮できますが、一つ一つ手順を踏んだほうが間違いが少ないと思います。

また今お母様が使われているアプリがiPhoneでも使えるのかは一応確認しておいたほうがいいと思います。