マイネ王のログインについて

ご本人の別アカウントなのか、ご家族のアカウントなのかは置いといて(^^;
キャッシュに残っている内容が表示されたのでしょう。一旦リロードしてから使うと間違いないです。

タブレットなどをご家族と共有するときは、端末に個別アカウントを設定するとプライバシーが守れます。

↑文脈見たら複垢ではなく家族契約っぽいのはなんとなくわかると思いますが･･･(^_^;)

それは置いといて、状況があまり詳しくは分かっていないので推測ではありますが
Aのマイページを見ていてAでログアウト→Bでログインした時に表示がAのページのままというのは恐らくマイネ王がわの仕様かと思います
マイページのリンクを見れば分かるのですが、マイネ王のマイページは自分のアカウントでそのページを見るのと、他人がそのページを見るのとほぼ同じページが表示されています。(違うのはプロフィール画像から編集のリンクに飛べるかどうかだけ)
そのためA→Bに切り替えてもページは更新されず(というか更新ボタン押してもリンクはAのページを開いたままなので変わらず)という状況なのでしょう
対策としてはもう一度右上のマイページ/メッセージあたりのプロフィール画像を確認するとか、もう一度マイページを開いてみることですかね

ログアウトのボタンがマイページにあるから、でしょうかね。
リロードしてみて、別アカウントになっているか確認が必要ですね。
家族アカウントを持っている方は、皆さんされていると思いますよ。