iphone 機種変更時のメール引き継ぎについて

＞mineoのメールアドレスを使用しているのですが、バックアップ等をとらなければいけませんか？

mineoメールに関しては特に必要ないです。
「mineoサーバーに保管されているメールをぽっぽろ さんのスマホが読みに行ってる」という感じなので、新しい端末で同じようにmineoメールをすれば今と同じ状態になります。

但し、mineoメール以外にも全体的にバックアップはしておいた方が良いと思います。
PCがあれば現用のiphone6sをitunesでバックアップして、新規購入iphone6sに復元すれば全く同じように使えます。
PCが無い場合はicloudを利用して同じような事が出来ます。
(新規購入端末がandrodの場合は手順が異なります)

＞新iphone にてこれまでのメール履歴を確認するには、どのような対応が必要なのでしょうか？

前述のように「iphone6sバックアップ→新iphone復元」が一番楽です。

mineoメールだけを復元するのであれば「設定→パスワードとアカウント→アカウントを追加」とタップして、メールアドレス、ホスト名、ユーザー名、パスワード等を入力すれば現用のiphone6sと同じように利用できます。

ご参考になれば。

mineoメールのサーバー設定が、imapsになっているのであれば、メールは全てサーバーにあるはずなので、あまり気にすることはありません。

メールアプリは何でしょうか？
また、新端末は何をお考えでしょうか？
iPhoneなのであれば、iTunesに暗号化バックアップして、新端末に復元すれば、基本的には全く同じ環境を構築できます。

あと、iPhone6Sであれば、本来十分に現役で使える性能だと思います。
バッテリーが悪くなって性能が落ちているということはないですか？
設定、バッテリー、診断で見てみてください。
バッテリー交換は正規店で約5000円だったと思います。