iphone 機種変更時のメール引き継ぎについて

mineoメールのサーバー設定が、imapsになっているのであれば、メールは全てサーバーにあるはずなので、あまり気にすることはありません。

メールアプリは何でしょうか？
また、新端末は何をお考えでしょうか？
iPhoneなのであれば、iTunesに暗号化バックアップして、新端末に復元すれば、基本的には全く同じ環境を構築できます。

あと、iPhone6Sであれば、本来十分に現役で使える性能だと思います。
バッテリーが悪くなって性能が落ちているということはないですか？
設定、バッテリー、診断で見てみてください。
バッテリー交換は正規店で約5000円だったと思います。