親を扶養家族に入れられるか

健康保険組合の審査次第ではないですか？
先ずは、申請すべきですね。

扶養に入れないほうが介護費用や入院費が安くて得な場合もあるんで要相談ですかね。
https://nedan.ja-kyosai.or.jp/column/20221219_familly_no1.html世帯分離とは？介護負担が軽減される理由や注意点、手続きを解説

被保険者（レイニーさん）の年収は被扶養者（お父さん）のそれの2倍以上必要です。
それがクリア出来れば、イケるんじゃないですかね。
レイニーさんの勤め先（の顧問社労士）に相談してみたらイイと思います。

税制上の扶養と社会保険の扶養の2つがあります。

税制上の扶養要件は以下となります。
・65歳以上年金受給者であれば年金収入158万円以下
・生計を一にしている(同居ならまずOK)
・親が個人事業主の事業専従者ではない
　(レイニーさんが個人事業主の届出をしていなければ、気にしなくてOKです)

社会保険の扶養要件は以下です。
・親(60歳以上)の年間収入180万円未満
・親の収入がレイニーさんの収入の半分未満(健保の規定により異なる基準の場合あり)
・生計を一にしている(同居ならまずOK)
・75歳未満(後期高齢者医療制度に移行前であること)

>> ゆ～ちゃん84 さん

「親の収入がレイニーさんの収入の半分未満」というのは親の収入は０円で年金のみです。年金の金額の2倍以上、私は稼がないといけないのでしょうか？それとも年金は関係ないのでしょうか？

>> レイニー さん

　社会保険被扶養の収入認定には、年金収入(非課税の遺族年金・障碍年金も)も含めます。少しずれますが、非課税の雇用保険給付(失業給付)も含めるので、受給期間中は被扶養者から除外するという面倒なこともあります(待機期間がない人は、給付終了後に被扶養者の手続きをするのでいいのですが、自己都合退職などで給付制限期間がある人は、給付制限期間中は被扶養者・給付期間中は被扶養者から除外・給付終了後に再度被扶養者認定)。

　協会けんぽの認定基準(同一世帯の場合)
https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g3/cat320/sb3160/sbb3163/1959-230/
　認定対象者の年間収入が130万円未満（認定対象者が60歳以上または障害厚生年金を受けられる程度の障害者の場合は180万円未満）であって、かつ、被保険者の年間収入の2分の1未満である場合は被扶養者となります。
　なお、上記に該当しない場合であっても、認定対象者の年間収入が130万円未満（認定対象者が60歳以上または障害厚生年金を受けられる程度の障害者の場合は180万円未満）であって、かつ、被保険者の年間収入を上回らない場合には、その世帯の生計の状況を果たしていると認められるときは、被扶養者となる場合があります。

同一世帯ですか？
同一住所でも、別世帯なら、
介護などで、単身者の特典が使える。

>> sinnkikuchi さん

同じ家に住んでいても住民登録で別世帯(世帯別)ができるんですよね
ややこしい…
これが扶養と関係あるかどうかは知らないのですが…

>> α⇆ω さん

　世帯分離をしている場合は、「別居」扱いと判断されます(世帯分離=別家計のため)。

　「被保険者が毎月継続的に仕送りを行い、認定対象者の生活費のほとんどを主として負担していること。また仕送り額を加えた収入合計額が生計可能な金額であること。 」が認定基準に追加されます。

今、色々と不安に感じておられる事を、役所に電話して相談するのが良いと思います。支援して貰える制度はありますよ。
電話できると思います。一歩を踏み出せますように。