6月分請求金額

通話記録があるのであれば掛けたのでしょう。
それが留守番センターであっても着信していれば請求されます。
特にSB系はガイダンス中も課金されるので注意です。

あとお使いの機種が暴走したのであれば
どうしようも無いですよ。

mineo マイページより、ご利用状況の確認→mineo通話明細で時間、料金、通話先が確認出来ますよ。

確か、通話料の請求は1ヶ月遅れだった思います。
6月請求であれば、5月に使用された分ですね。

心当たりはないですか？
使ってもない電話料金を請求されるのは、少し考え難いです。

音声通話に関してはmineoはキャリアからの請求を代行しているだけなので
おそらくauへ問い合わせることになると思います。

通話記録の相手側の番号は心当たりはありますか？

以前、試しに知り合いに通話したところ、スマホをロックしても通話が
継続する設定になっていて、やはり高額な請求をされた件がありました。

はじめまして！
お気の毒様です(｡ŏ﹏ŏ)
ご使用の端末は何なのでしょう？
誤作動防止して同じことが起きない様に注意して下さい。

身内のかたに貸したとか？😅

基本的なことですみませんが、使っていないときには画面をロックしていらっしゃいますか。

ポケットやカバンの中で、画面上の通話アプリに何かが当たって意図しない発信をしていた、という可能性は考えられませんか？

電話を切るボタンは押したが、押せてなかった。
とか
スマホの誤作動により繋がりっぱなしなどもありえます。

あとは、他の方も言われる誤発信でしょうかね？

mineoで居るかはわかりませんが、世の中的にはそこそこ居るのではないでしょうか？
http://tani-design.com/blog/vibrate/