3の倍数の証明

受験生のときに考えたことがあります。

例えば3桁の「abc」という数なら
100a+10b+c　とおけます。
このとき各桁の和が3の倍数なら
a+b+c=3k（kは自然数）⇔ c=3k-a-b　と表せます。
そうすると、3桁の数「abc」は
100a+10b+c
=100a+10b+(3k-a-b)
=99a+9b+3k
=3(33a+3b+k)
となるので、3の倍数になることが分かります。
桁が増えても全く同様に表せるので、数学的帰納法を使えば一般化できます。

もう少し考えてみました。
合同式を使えばもっとスマートに一般化できそうです。


kを0〜9の整数としてn桁の自然数Aを
A=10⁰k₁+10¹k₂+10²k₃+・・・+10ⁿ⁻¹kₙ
とおきます。

このときAの各桁の数の和が3の倍数なら
合同式を使って以下のように表せます。

k₁+k₂+k₃+・・・+kₙ≡0 (mod 3)　
⇔ k₁≡-k₂-k₃-・・・-kₙ (mod 3)

これをAに代入すると

A≡(10¹-1)k₂+(10²-1)k₃+・・・+(10ⁿ⁻¹-1)kₙ
≡9k₂+99k₃+999k₄+・・・+(10ⁿ⁻¹-1)kₙ
≡0 (mod 3)

と表せるのでAは3の倍数です。

>> てんがろん さん

😍

証明はわからないけど、
小学生のときに「かける3の答えで出てきた数字って足すと3の倍数じゃん。これで3で割り切れるかが簡単にわかるぞ。この法則を発見した私天才!!」という勘違いしたことならあります。

天才でもなんでもなく有名なことでした(^^;;

因みに3で割り切れるかどうかが重要だったのは、三人きょうだいで、お菓子などはきっちり三等分したかったんだけど、私は計算が苦手なので、
三桁や四桁でも三人できっちり分けられるかどうかが筆算せずともわかる(というか一目でわかる)のは、自分的には世紀の大発見だったんですよね〜

あまりにも昔の話なので全く覚えていませんが、あまり深く考えなくても、
a+10b+100c+1000d+・・・・
＝（a+b+c+d+・・・）+9×（b+11c+111d+・・・・）

なので、足して3や9で割り切れればその数字は3や9で割り切れるでしょう。

今は「深く考えなくても」インターネットから多くの情報を得ることができます。そんな時代でもあえて「深く考えたい」です😇


草鞋虫さんのように，法則を発見したときの喜びもあります。
数学も，科学も，ほとんどのことは自分で考えたものでなく，誰かの発見や考えのパクリですから。

ダータンスヒルビリーさんの
a+10b+100c+1000d+・・・・
＝（a+b+c+d+・・・）+9×（b+11c+111d+・・・・）
は，人によって，ちょっとした考えだったり，思いつかない考えでもあります。

考えることは素晴らしい🤗

数学っぽくない考え方。

3, 3+3 =6, 6+3 =9 のように３に３ずつ足していったものは3の倍数です。
繰り上がりのところ，一桁目が7, 8, 9のところ。
9+3 だと，12になります。2桁目が1増えて，1桁目が7減りますから，各桁の数の合計は6減ります。元々各桁の数の合計が3の倍数だったので，6減ったときは3が2回減っているので，それも3の倍数です。
7の場合は一桁目が7減って2桁目が1増えますから，合計で6減りますから，全体の桁の数の合計は3の倍数。
8の場合も一桁目が7減って2桁目が1増えますから，合計で6減りますから，全体の桁の数の合計は3の倍数。

2桁目が9の場合は9減って，3桁目が1増えますから，合計で15減ります。15は3が5回分なので，各桁の数の合計も3の倍数となります。
繰り上がりの桁の次の桁に9が続いているときは，その数分だけ9ずつ減るので，各桁の数の合計もまた3の倍数になります。

数学っぽい証明じゃないけど，代数の考えが苦手な人には理解しやすいと思います🙂

自分の考えた答を見てくれ！　みたいな感じで，ガンガン来るかと思っていたら，めちゃ少ない😂
あんまりお好みじゃなかったかしら。。。

コロナは567です。
5+6+7=18
1+8=9
3の倍数です。

小銭でも
1円+5円+10円+50円+100円+500円=666円

6+6+6=18
1+8=9
3の倍数です。

3、6、9の数字は面白いですね😆

小銭は666円
札は1000+5000+10000+2000円
18000円

札+小銭 は18666円
1+8+6+6+6=27
2+7=9

2000円札が大事でした😄