AプランのSIMをDocomoの白ロムで使えますか？

＞新しいスマホもnanoサイズのSIMですが、docomo端末とした場合、SIMはDプランのSIMに切り替える必要があるのでしょうか？

その通りです。SIMロック解除されていない端末の場合、プラン変更が必要です。ただし、SIMロック解除されているドコモ端末の場合でも端末自体が持っているBandにより、著しく電波が入りにくくなる場合がありますのでAプランの au VoLTE対応SIM(nanoサイズ)を使うときには端末との整合性を検討する必要があります。なおiPhoneについてはアップルから直接購入した端末や、SIMロック解除した端末は一般的にAプランの au VoLTE対応SIM(nanoサイズ)が使えます。

＞もう一つ、SIMフリーの端末を購入した場合、現在のSIMを継続して使用することは可能でしょうか？

元々がSIMフリーの端末とSIMロック解除をしてSIMフリーになっている端末がありますので注意が必要ですが、前者の場合には使える場合が多いと思ってください。やはりこれも端末の持っているBand等、整合性を検討する必要があります。