私の代わりにSIMを家族が買った場合

「SIMを購入してくれた家族の携帯番号が書いてあるSIMなのですが、もしかして、SIMは利用者本人が買わないと使えないのですか？」

この質問本文から判断すると、他のご家族が契約申し込みしたSIMを、mandpさんご本人の契約で使おうとしてるのではありませんか？

そうであれば残念ながらできません。
電話番号が変わっても良いのでしたら、そのご家族の名義のまま使用者登録をして使うことはできますが、電話番号はそのSIMの番号になります。