ギャラクシーs5

>>13 rikomamaさん
＞Wi-fi オフ状態でショートメールを送信したんですが送信ができました

という事は正常にSIMを認識していますね。
「端末の故障」、「SIMの故障」、「SIM挿し間違い」の可能性はとりあえず排除して良いと思います。

＞もう一度端末の設定を一からやり直したほうがよろしいのでしょうか？

やはり、設定ミスの可能性が一番高いと思うんですよね。
（古い方）の端末は正常に通信出来てるとのことなので、その設定と見比べながら設定し直すのも良いかもしれません。

それと、これも単純な事ですが「モバイルデータ」がOFFになっているとか・・・。
（設定→その他ネットワーク→モバイルネットワーク→モバイルデータと4Gデータ通信がONになっているか確認）

その他の可能性として、以前の事例を見つけました。https://king.mineo.jp/question-answer/端末／各種設定／操作 スマートフォン/1260/posts/23
この場合、解約済みのauのSIMを挿したら復旧したようです。
拝見する限り、同じような現象に見えるのでmineo以外のsimが残ってればダメ元で試してる価値はあるかもです。

恐らく故障はしていないと思うので最終的には何とかなるように思います。
色々試してみましょう。