アイフォンでのメール受信

自分も実は質問者さんと似たような現象で悩んでおりました。

自分はGmail をメインに使っているのですが、試しにGmail アプリをダウンロードしてみたところ、即座にメール着信に反応してくれるようになり、（当然ですが）アプリ上での数字も確認出来るようになりました。

他メールをメインにされている場合でも、そのメール専用アプリを併用して導入されてみてはいかがでしょうか？