sh-02kを利用できている方…いますか？泣

sh-02kは法人向けの機種なので、mineoの動作確認済み機種一覧には出てこないです。

それで、個人向け「AQUOS ケータイ SH-01J」がベースとなっているという話で、SH-01Jはmineoでも動作確認済み機種になっていますよね。だから動作しないはずはないと思います。APN設定のどこかにまずい点があるのでしょう。

リンクスメイトでAQUOS ケータイ [SH-01J] について画像でAPN設定を載せているので、そちらを参考にして、設定項目のみmineoのものに読み替えて設定してみてはいかがでしょうか。

https://linksmate.jp/guide/apn/136/
こちらに出てくる手順でやって、APN設定のところだけ、他の方も書かれているように、

名前：任意の名前
APN：mineo-d.jp
ユーザー名：mineo@k-opti.com
パスワード：mineo
認証タイプ：CHAPを選択

と設定すればよいということですね。