Ｇメールの受信トレイってアカウントごとに作れますか？

マイメールを使用しています。
不具合が出ていることは、マイネ王で知っています。

マイネオのメアドを登録した企業によって、マイメールにメールが届くものもあるのですが、先日Ｇメールにアカウント追加しました。

追加した日は、複数のメールが届き、この企業も届かなくなってたんだと再確認できました。
しかし、昨日確認するとマイメールに届いてるはずのメールがＧメール内のどこを探してもありませんでした。
（マイメールの使用は継続しています。）

設定で同期していたのですが、改めて「同期する」をタップすると昨日のメールをやっと受信しました。
この後、全てのメールを確認すると、マイネオのメアドで受信していたメールがありました。

そこで質問です。

質問①：いちいち同期するをタップしないとＧメール以外のアカウントは受信トレイに入って来ないのでしょうか？（それもすべてのメールを見ないと出てきません。）

質問②：受信トレイはアカウント毎に作れないのでしょうか？

質問③：マイメールでの不具合は直る見込みは無く、使用を諦めた方がよいのでしょうか？

以上、よろしくお願いいたします。